Demuestre que para cada número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para cada número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más fácil: Encuentre $r$ como una raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros.

Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier $a \in [0, 1]$ y cualquier entero positivo $n,$ \[a^k(1 - a)^n < \frac{1}{(n+1)^3}.\]

Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y encuentre este límite.

Sean $a_k$ números positivos tales que $a_1 \geq 1$ y $a_{k+1} -a_k \geq 1 \ (k = 1, 2, . . . )$ . Demostrar que para cada $n \in \mathbb N,$ \[\sum_{k=1}^{1987}\frac{1}{a_{k+1} \sqrt[1987]{a_k}} <1987\]

¿Existe una función $f : \mathbb N \to \mathbb N$ , tal que $f(f(n)) =n + 1987$ para cada número natural $n$ ?

Sea $f(x)$ una función periódica de periodo $T > 0$ definida sobre $\mathbb R$ . Su primera derivada es continua en $\mathbb R$ . Demostrar que existen $x, y \in [0, T )$ tales que $x \neq y$ y \[f(x)f'(y)=f'(x)f(y).\]

¿Es posible cubrir un rectángulo de dimensiones $m \times n$ con ladrillos que tienen la forma angular de trimino (una disposición de tres cuadrados unitarios que forman la letra $\text L$ ) si:\n(a) $m \times n = 1985 \times 1987;$\n(b) $m \times n = 1987 \times 1989 \quad ?$

A cada número natural $k, k \geq 2$ , le corresponde una secuencia $a_n(k)$ de acuerdo con la siguiente regla: \[a_0 = k, \qquad a_n = \tau(a_{n-1}) \quad \forall n \geq 1,\] en la que $\tau(a)$ es el número de diferentes divisores de $a$ . Encontrar todos los $k$ para los cuales la secuencia $a_n(k)$ no contiene el cuadrado de un entero.

En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ se encuentra con $BC$ en $L$ y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $N$ . Desde $L$ se dibujan perpendiculares a $AB$ y $AC$ , con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales.

Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ .