Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $\beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ podemos construir un triángulo y que su área no es mayor que \n\[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\]

Si $a, b, c, d$ son números reales tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$ , encuentre el máximo de la expresión \n\[(a + b)^4 + (a + c)^4 + (a + d)^4 + (b + c)^4 + (b + d)^4 + (c + d)^4.\]

En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cada otro par de personas hay exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$ , entonces $k \geq 2n$ .

Las corridas de un número decimal son sus bloques crecientes o decrecientes de dígitos. Así $024379$ tiene tres corridas : $024, 43$ , y $379$. Determine el número promedio de corridas para un número decimal en el conjunto $\{d_1d_2 \cdots d_n | d_k \neq d_{k+1}, k = 1, 2,\cdots, n - 1\}$ , donde $n \geq 2.$

Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el entero más grande menor que $r$. Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$. Por una expansión en base - $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ en la forma $$x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+ \frac{a_3}{r^3}+\cdots$$ donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede asumir sin prueba que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos una expansión en base - $r$. Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$ , $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$ , que tiene infinitas expansiones distintas en base - $r$.

Calcular $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a_k^2$ donde $a_k$ son los coeficientes en la expansión $$(1- \sqrt 2 x +x^2)^n =\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k.$$

Sean $l, l'$ dos rectas en el espacio $3$ - dimensional y sean $A,B,C$ tres puntos tomados en $l$ con $B$ como punto medio del segmento $AC$. Si $a, b, c$ son las distancias de $A,B,C$ desde $l'$, respectivamente, demuestre que $b \leq \sqrt{ \frac{a^2+c^2}{2}}$ , la igualdad se cumple si $l, l'$ son paralelas.

Sea $PQ$ un segmento de recta de longitud constante $\lambda$ tomado en el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con el orden $B,P,Q,C$, y sean las rectas que pasan por $P$ y $Q$ paralelas a los lados laterales que se encuentran con $AC$ en $P_1$ y $Q_1$ y $AB$ en $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los trapecios $PQQ_1P_1$ y $PQQ_2P_2$ es independiente de la posición de $PQ$ en $BC$.

Se da que $x = -2272$, $y = 10^3+10^2c+10b+a$, y $z = 1$ satisfacen la ecuación $ax + by + cz = 1$, donde $a, b, c$ son enteros positivos con $a < b < c$. Encuentre $y.$

Se da que $a_{11}, a_{22}$ son números reales, que $x_1, x_2, a_{12}, b_1, b_2$ son números complejos, y que $a_{11}a_{22}=a_{12}\overline{a_{12}}$ (Donde $\overline{a_{12}}$ es el conjugado de $a_{12}$ ) . Consideramos el siguiente sistema en $x_1, x_2$ : \[\overline{x_1}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) = b_1,\] \[\overline{x_2}(a_{12}x_1 + a_{22}x_2) = b_2.\] (a) Dé una condición para que el sistema sea consistente. (b) Dé una condición para que $\arg x_1 - \arg x_2 = 98^{\circ}.$