Encuentre, con argumento, las soluciones enteras de la ecuación \[3z^2 = 2x^3 + 385x^2 + 256x - 58195.\]

Las bisectrices de los ángulos $B,C$ de un triángulo $ABC$ intersectan los lados opuestos en $B', C'$ respectivamente. Demuestre que la línea recta $B'C'$ intersecta el círculo inscrito en dos puntos diferentes.

Para cualquier entero $r \geq 1$, determine el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existen enteros $a \geq 0 \ ; 1 \leq x \leq y$, tales que $a + x, a + y, a + x + y$ pertenecen a la misma clase.

Dos cuerpos móviles $M_1,M_2$ se desplazan uniformemente sobre dos líneas rectas coplanarias. Describa la unión de todas las líneas rectas $M_1M_2.$

Sea $n$ un número natural. Resuelva en enteros la ecuación \[x^n + y^n = (x - y)^{n+1}.\]

Demuestre que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que cualquier progresión aritmética con $10$ términos en el conjunto $M$ no es monocromática. Formulación alternativa Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ . Demuestre que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en cada conjunto de $10$ términos de $M$ que forman una progresión aritmética.

Dado un triángulo no equilátero $ABC$, con los vértices listados en sentido antihorario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de los triángulos equiláteros $A'B'C'$ (con los vértices listados en sentido antihorario) para los cuales las ternas de puntos $A,B', C'; A',B, C';$ y $A',B', C$ son colineales.

La función $F$ es una transformación uno a uno del plano en sí misma que transforma rectángulos en rectángulos (los rectángulos son cerrados; no se asume continuidad). Demuestre que $F$ transforma cuadrados en cuadrados.

Sean $P,Q,R$ polinomios con coeficientes reales, que satisfacen $P^4+Q^4 = R^2$. Demuestra que existen números reales $p, q, r$ y un polinomio $S$ tales que $P = pS, Q = qS$ y $R = rS^2$.

En el sistema de coordenadas en el plano consideramos un polígono convexo $W$ y líneas dadas por las ecuaciones $x = k, y = m$, donde $k$ y $m$ son enteros. Las líneas determinan una teselación del plano con cuadrados unitarios. Decimos que la frontera de $W$ intersecta un cuadrado si la frontera contiene un punto interior del cuadrado. Demuestra que la frontera de $W$ intersecta a lo sumo $4 \lceil d \rceil$ cuadrados unitarios, donde $d$ es la distancia máxima de los puntos que pertenecen a $W$ (i.e., el diámetro de $W$) y $\lceil d \rceil$ es el entero más pequeño no menor que $d.$