Halla el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$, algunos de los cuales pueden estar vacíos, tales que se satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto hayan sido colocados en orden ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen diferente paridad.\n$(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par.

A través de un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ se dibujan las líneas $l, m$ y $n$ perpendiculares respectivamente a $AP,BP,CP$. Demuestra que si $l$ intersecta la línea $BC$ en $Q$, $m$ intersecta $AC$ en $R$, y $n$ intersecta $AB$ en $S$, entonces los puntos $Q, R$ y $S$ son colineales.

Dados cinco números reales $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$, demuestra que siempre es posible encontrar cinco números reales $v_0, v_1, v_2, v_3, v_4$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n$(i)$ $u_i-v_i \in \mathbb N, \quad 0 \leq i \leq 4$\n$(ii)$ $\sum_{0 \leq i<j \leq 4} (v_i - v_j)^2 < 4.$

Consideremos un polígono variable con $2n$ lados ( $n \in N$ ) en un círculo fijo tal que $2n - 1$ de sus lados pasan por $2n - 1$ puntos fijos que se encuentran en una línea recta $\Delta$ . Demuestra que el último lado también pasa por un punto fijo que se encuentra en $\Delta .$

Sean $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n$ sean $n$ números reales tales que $\sin \theta_1+\sin \theta_2+\cdots+\sin \theta_n=0$ . Demuestra que \[|\sin \theta_1+2 \sin \theta_2+\cdots +n \sin \theta_n| \leq \left[ \frac{n^2}{4} \right]\]

Sean $2n + 3$ puntos dados en el plano de tal manera que no tres estén en una línea y no cuatro estén en un círculo. Demuestra que el número de círculos que pasan por tres de estos puntos y contienen exactamente $n$ puntos interiores no es menor que $\frac 13 \binom{2n+3}{2}.$

Encuentra las soluciones enteras de la ecuación \[ \left[ \sqrt{2m} \right] = \left[ n(2+\sqrt 2) \right] \]

Sean $n$ puntos dados arbitrariamente en el plano, no tres de ellos colineales. Tracemos segmentos entre pares de estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de segmentos que pueden ser coloreados de rojo de tal manera que entre cualesquiera cuatro puntos, tres de ellos estén conectados por segmentos que formen un triángulo rojo?

La línea perpendicular emitida desde el centro de la circunferencia circunscrita a la bisectriz del ángulo $C$ en un triángulo $ABC$ divide el segmento de la bisectriz dentro de $ABC$ en dos segmentos con una razón de longitudes $\lambda$ . Dados $b = AC$ y $a = BC$ , halle la longitud del lado $c.$

Sea $A$ un conjunto de polinomios con coeficientes reales y que satisfagan las siguientes condiciones: (i) si $f \in A$ y $\deg( f ) \leq 1$ , entonces $f(x) = x - 1$ ; (ii) si $f \in A$ y $\deg( f ) \geq 2$ , entonces o bien existe $g \in A$ tal que $f(x) = x^{2+\deg(g)} + xg(x) -1$ o bien existen $g, h \in A$ tal que $f(x) = x^{1+\deg(g)}g(x) + h(x)$ ; (iii) para todo $g, h \in A$ , tanto $x^{2+\deg(g)} + xg(x) -1$ como $x^{1+\deg(g)}g(x) + h(x)$ pertenecen a $A.$ Sea $R_n(f)$ el resto de la división euclídea del polinomio $f(x)$ por $x^n$ . Demuestre que para todo $f \in A$ y para todo número natural $n \geq 1$ tenemos $R_n(f)(1) \leq 0$ , y que si $R_n(f)(1) = 0$ entonces $R_n(f) \in A$