Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$ , y cada esfera toca el cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca el cono $C$ , ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los posibles valores de $n$ ?

Se extraen sucesivamente y al azar cinco números distintos del conjunto $\{1, \cdots , n\}$ . Demuestre que la probabilidad de una extracción en la que los tres primeros números, así como los cinco números, puedan ordenarse para formar una progresión aritmética es mayor que $\frac{6}{(n-2)^3}$

Un juego consiste en empujar una piedra plana a lo largo de una secuencia de casillas $S_0, S_1, S_2, . . .$ que están dispuestas en orden lineal. La piedra se coloca inicialmente en la casilla $S_0$ . Cuando la piedra se detiene en una casilla $S_k$ , se vuelve a empujar en la misma dirección, y así sucesivamente, hasta que llega a $S_{1987}$ o la sobrepasa; entonces el juego se detiene. Cada vez que se empuja la piedra, la probabilidad de que avance exactamente $n$ casillas es $\frac{1}{2^n}$ . Determine la probabilidad de que la piedra se detenga exactamente en la casilla $S_{1987}.$

¿Existe un conjunto $M$ en el espacio euclidiano usual tal que para cada plano $\lambda$ la intersección $M \cap \lambda$ es finita y no vacía?

(a) Sea $\gcd(m, k) = 1$ . Demostrar que existen enteros $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ tales que cada producto $a_ib_j$ ( $i = 1, 2, \cdots ,m;\ j = 1, 2, \cdots, k$ ) da un residuo diferente cuando se divide por $mk.$ (b) Sea $\gcd(m, k) > 1$ . Demostrar que para cualquier entero $a_1, a_2, . . . , a_m$ y $b_1, b_2, . . . , b_k$ deben haber dos productos $a_ib_j$ y $a_sb_t$ ( $(i, j) \neq (s, t)$ ) que dan el mismo residuo cuando se dividen por $mk.$

Demostrar que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$, entonces $\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N $

Resolver la ecuación $28^x = 19^y +87^z$, donde $x, y, z$ son enteros.

Construir un triángulo $ABC$ dado su lado $a = BC$, su circunradio $R \ (2R \geq a)$, y la diferencia $\frac{1}{k} = \frac{1}{c}-\frac{1}{b}$, donde $c = AB$ y $ b = AC.$

Considerar el $1987$ - gono regular $A_1A_2 . . . A_{1987}$ con centro $O$ . Mostrar que la suma de vectores pertenecientes a cualquier subconjunto propio de $M = \{OA_j | j = 1, 2, . . . , 1987\}$ es distinta de cero.

¿Es posible colocar $1987$ puntos en el plano euclidiano de tal manera que la distancia entre cada par de puntos sea irracional y cada tres puntos determinen un triángulo no degenerado con área racional?