En un torneo de ajedrez hay $n \geq 5$ jugadores, y ya han jugado $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +2$ juegos (cada par ha jugado entre sí como máximo una vez). (a) Demostrar que hay cinco jugadores $a, b, c, d, e$ para los cuales los pares $ab, ac, bc, ad, ae, de$ ya han jugado. (b) ¿Es también válido el enunciado para los $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +1$ juegos jugados? Hacer la prueba por inducción sobre $n.$

Encontrar, con prueba, el número real más pequeño $C$ con la siguiente propiedad: Para cada secuencia infinita $\{x_i\}$ de números reales positivos tales que $x_1 + x_2 +\cdots + x_n \leq x_{n+1}$ para $n = 1, 2, 3, \cdots$ , tenemos \[\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\cdots+\sqrt{x_n} \leq C \sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n} \qquad \forall n \in \mathbb N.\]

Demostrar que si $x, y, z$ son números reales tales que $x^2+y^2+z^2 = 2$ , entonces \[x + y + z \leq xyz + 2.\]

Números $d(n,m)$ , con $m, n$ enteros, $0 \leq m \leq n$ , se definen por $d(n, 0) = d(n, n) = 0$ para todo $n \geq 0$ y\n$md(n,m) = md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1) \text{ para todo } 0 < m < n.$\nDemuestre que todos los $d(n,m)$ son enteros.

Demuestre que si la ecuación $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ tiene todas sus raíces reales, entonces $ab \leq 0.$

Una pantalla de lámpara es parte de la superficie de un cono circular recto cuyo eje es vertical. Sus bordes superior e inferior son dos círculos horizontales. Se seleccionan dos puntos en el círculo superior más pequeño y cuatro puntos en el círculo inferior más grande. Cada uno de estos seis puntos tiene tres de los otros que son sus vecinos más cercanos a una distancia $d$ de él. Por distancia se entiende la distancia más corta medida sobre la superficie curva de la pantalla de la lámpara. Demuestre que el área de la pantalla de la lámpara es $d^2(2\theta + \sqrt 3)$ donde $\cot \frac {\theta}{2} = \frac{3}{\theta}.$

Encuentre, con prueba, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente.

Sea $p_n(k)$ el número de permutaciones del conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ que tienen exactamente $k$ puntos fijos. Demuestre que $\sum_{k=0}^nk p_n(k)=n!$ .

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestra que para cada entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos cero, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$.

¿Cuántas palabras con $n$ dígitos se pueden formar a partir del alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, si los dígitos vecinos deben diferir en exactamente uno?