Sea $ABCDEFGH$ un paralelepípedo con $AE \parallel BF \parallel CG \parallel DH$. Demuestra la desigualdad\n\[AF + AH + AC \leq AB + AD + AE + AG.\]\n¿En qué casos se cumple la igualdad?

Considera el número $\alpha$ obtenido al escribir uno tras otro las representaciones decimales de $1, 1987, 1987^2, \dots$ a la derecha del punto decimal. Demuestra que $\alpha$ es irracional.

Sea $ABC$ un triángulo. Para cada punto $M$ que pertenece al segmento $BC$, denotamos por $B'$ y $C'$ las proyecciones ortogonales de $M$ sobre las rectas $AC$ y $BC$. Encuentra los puntos $M$ para los cuales la longitud del segmento $B'C'$ es mínima.

Sean $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3$ nueve números reales estrictamente positivos. Definimos \[S_1 = a_1b_2c_3, \quad S_2 = a_2b_3c_1, \quad S_3 = a_3b_1c_2;\] \[T_1 = a_1b_3c_2, \quad T_2 = a_2b_1c_3, \quad T_3 = a_3b_2c_1.\] Suponga que el conjunto $\{S1, S2, S3, T1, T2, T3\}$ tiene a lo sumo dos elementos. Demuestre que \[S_1 + S_2 + S_3 = T_1 + T_2 + T_3.\]

Dados $n$ números reales $0 < t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_n < 1$, demuestre que \[(1-t_n^2) \left( \frac{t_1}{(1-t_1^2)^2}+\frac{t_2}{(1-t_2^3)^2}+\cdots +\frac{t_n}{(1-t_n^{n+1})^2} \right) < 1.\]

Sea $A$ un conjunto infinito de enteros positivos tal que cada $n \in A$ es el producto de a lo sumo $1987$ números primos. Demuestre que existe un conjunto infinito $B \subset A$ y un número $p$ tal que el máximo común divisor de cualesquiera dos números distintos en $B$ es $p$.

¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que cada entero no negativo $n$ es igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos?

Sea $S \subset [0, 1]$ un conjunto de 5 puntos con $\{0, 1\} \subset S$. La gráfica de una función real $f : [0, 1] \to [0, 1]$ es continua y creciente, y es lineal en cada subintervalo $I$ en $[0, 1]$ tal que los puntos finales pero no los puntos interiores de $I$ están en $S$. Queremos calcular, usando una computadora, los valores extremos de $g(x, t) = \frac{f(x+t)-f(x)}{ f(x)-f(x-t)}$ para $x - t, x + t \in [0, 1]$. ¿En cuántos puntos $(x, t)$ es necesario calcular $g(x, t)$ con la computadora?

En un sistema de coordenadas cartesianas, el círculo $C_1$ tiene centro $O_1(-2, 0)$ y radio $3$ . Denote el punto $(1, 0)$ por $A$ y el origen por $O$ . Demuestra que existe una constante $c > 0$ tal que para toda $X$ que es exterior a $C1$ , \[OX- 1 \geq c \min\{AX,AX^2\}.\] Encuentra la $c$ más grande posible.

En el conjunto de $20$ elementos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A, B, C, D, J, K, L, U, X, Y , Z\}$ hemos hecho una secuencia aleatoria de $28$ lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $CUBA \ JULY \ 1987$ aparezca en este orden en la secuencia ya lanzada?