Determina el menor valor posible del número natural $n$ tal que $n!$ termina en exactamente $1987$ ceros.

Sea $f : (0,+\infty) \to \mathbb R$ una función que tiene la propiedad de que $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$ para toda $x > 0.$ Demuestra que existe una función $u : [1,+\infty) \to \mathbb R$ que satisface $u\left(\frac{x+\frac 1x }{2} \right) = f(x)$ para toda $x > 0.$

Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $(i)$ Si $x > y$ y $f(y) - y \geq v \geq f(x) - x$ , entonces $f(z) = v + z$ , para algún número $z$ entre $x$ e $y$ . $(ii)$ La ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución, y entre las soluciones de esta ecuación, hay una que no es menor que todas las demás soluciones; $(iii)$ $f(0) = 1$ . $(iv)$ $f(1987) \leq 1988$ . $(v)$ $f(x)f(y) = f(xf(y) + yf(x) - xy)$ . Encuentra $f(1987)$ .

Sean tres círculos $K_1,K_2,K_3$ con centros $O_1,O_2,O_3$ respectivamente, que se encuentran en un punto común $P$. Además, sea $K_1 \cap K_2 = \{P,A\}, K_2 \cap K_3 = \{P,B\}, K_3 \cap K_1 = \{P,C\}$. Dado un punto arbitrario $X$ en $K_1$, una $X$ a $A$ para encontrarse con $K_2$ nuevamente en $Y$, y una $X$ a $C$ para encontrarse con $K_3$ nuevamente en $Z.$ (a) Demuestre que los puntos $Z,B, Y$ son colineales. (b) Demuestre que el área del triángulo $XY Z$ es menor o igual a $4$ veces el área del triángulo $O_1O_2O_3.$

Sean $a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3$ números reales positivos. Pruebe que\n\[(a_1b_2 + a_2b_1 + a_1b_3 + a_3b_1 + a_2b_3 + a_3b_2)^2 \geq 4(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1)(b_1b_2 + b_2b_3 + b_3b_1)\]\ny demuestre que los dos lados de la desigualdad son iguales si y sólo si $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}.$

Una ciudad tiene una red de carreteras que consta enteramente de calles de un solo sentido que se utilizan para las rutas de autobús. A lo largo de estas rutas, se han establecido paradas de autobús. Si las señales de un solo sentido permiten viajar desde la parada de autobús $X$ hasta la parada de autobús $Y \neq X$, entonces diremos que se puede llegar a $Y$ desde $X$. Usaremos la frase '$Y$ viene después de $X$' cuando deseemos expresar que cada parada de autobús desde la que se puede llegar a la parada de autobús $X$ es una parada de autobús desde la que se puede llegar a la parada de autobús $Y$, y cada parada de autobús a la que se puede llegar desde $Y$ también se puede llegar desde $X$. Un visitante de esta ciudad descubre que si $X$ e $Y$ son dos paradas de autobús diferentes, entonces las dos oraciones '$Y$ se puede alcanzar desde $X$' y '$Y$ viene después de $X$' tienen exactamente el mismo significado en esta ciudad. Sean $A$ y $B$ dos paradas de autobús. Demuestre que de las siguientes dos afirmaciones, exactamente una es verdadera: (i) $B$ se puede alcanzar desde $A$; (ii) $A$ se puede alcanzar desde $B.$

Supongamos que tenemos un paquete de $2n$ cartas, en el orden $1, 2, . . . , 2n$. Una mezcla perfecta de estas cartas cambia el orden a $n+1, 1, n+2, 2, . . ., n- 1, 2n, n$; es decir, las cartas que originalmente estaban en las primeras $n$ posiciones se han movido a los lugares $2, 4, . . . , 2n$, mientras que las $n$ cartas restantes, en su orden original, llenan las posiciones impares $1, 3, . . . , 2n - 1.$ Supongamos que comenzamos con las cartas en el orden anterior $1, 2, . . . , 2n$ y luego aplicamos sucesivamente mezclas perfectas. ¿Qué condiciones sobre el número $n$ son necesarias para que las cartas eventualmente vuelvan a su orden original? Justifique su respuesta.\nObservación. Este problema es trivial. Alternativamente, se puede requerir encontrar el número mínimo de mezclas después de las cuales las cartas volverán al orden original.

Sean $x_1, x_2,\cdots, x_n$, $n$ enteros. Sea $n = p + q$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Para $i = 1, 2, \cdots, n$, coloque\n\[S_i = x_i + x_{i+1} +\cdots + x_{i+p-1} \text{ y } T_i = x_{i+p} + x_{i+p+1} +\cdots + x_{i+n-1}\]\n(se asume que $x_{i+n }= x_i$ para todo $i$ ). Luego, sea $m(a, b)$ el número de índices $i$ para los cuales $S_i$ deja el residuo $a$ y $T_i$ deja el residuo $b$ al dividir por $3$, donde $a, b \in \{0, 1, 2\}$. Demuestre que $m(1, 2)$ y $m(2, 1)$ dejan el mismo residuo cuando se dividen por $3$.

Sean $ a, b, c$ enteros positivos para los cuales $ abc = 1$ . Demuestre que $ \sum \frac{1}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$ .

Sean $ A_1A_2$ la línea tangente externa a los círculos que no se intersecan $ \omega_1(O_1)$ y $ \omega_2(O_2)$ , $ A_1\in\omega_1$ , $ A_2\in\omega_2$ . El punto $ K$ es el punto medio de $ A_1A_2$ . Y $ KB_1$ y $ KB_2$ son líneas tangentes a $ \omega_1$ y $ \omega_2$ , respectivamente ( $ B_1\neq A_1$ , $ B_2\neq A_2$ ). Las líneas $ A_1B_1$ y $ A_2B_2$ se encuentran en el punto $ L$ , y las líneas $ KL$ y $ O_1O_2$ se encuentran en el punto $ P$ . Demuestre que los puntos $ B_1,B_2,P$ y $ L$ son concíclicos.