Para cada entero positivo $ n$ , denote por $ S(n)$ la suma de todos los dígitos en la representación decimal de $ n$ . Encuentre todos los enteros positivos $ n$ , tales que $ n=2S(n)^3+8$ .

Sea $ A = \{(a_1,\dots,a_8)|a_i\in\mathbb{N}$ , $ 1\leq a_i\leq i + 1$ para cada $ i = 1,2\dots,8\}$ . Un subconjunto $ X\subset A$ se llama disperso si para cada dos elementos distintos $ (a_1,\dots,a_8)$ , $ (b_1,\dots,b_8)\in X$ , existe al menos tres índices $ i$ , tales que $ a_i\neq b_i$ . Encuentre el número máximo posible de elementos en un subconjunto disperso del conjunto $ A$ .

Un polinomio $ P(x)$ con coeficientes enteros se llama bueno, si se puede representar como una suma de cubos de varios polinomios (en la variable $ x$ ) con coeficientes enteros. Por ejemplo, los polinomios $ x^3 - 1$ y $ 9x^3 - 3x^2 + 3x + 7 = (x - 1)^3 + (2x)^3 + 2^3$ son buenos. a) ¿Es el polinomio $ P(x) = 3x + 3x^7$ bueno? b) ¿Es el polinomio $ P(x) = 3x + 3x^7 + 3x^{2008}$ bueno? Justifique sus respuestas.

Los puntos $ K,L,M,N$ son respectivamente los puntos medios de los lados $ AB,BC,CD,DA$ en un cuadrilátero convexo $ ABCD$ . La línea $ KM$ se encuentra con las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ P$ y $ Q$ , respectivamente. La línea $ LN$ se encuentra con las diagonales $ AC$ y $ BD$ en los puntos $ R$ y $ S$ , respectivamente. Demuestre que si $ AP\cdot PC=BQ\cdot QD$ , entonces $ AR\cdot RC=BS\cdot SD$ .

Una tabla de $10 \times 10$ consta de $100$ celdas unitarias. Un bloque es un cuadrado de $2 \times 2$ que consta de $4$ celdas unitarias de la tabla. Un conjunto $C$ de $n$ bloques cubre la tabla (es decir, cada celda de la tabla está cubierta por algún bloque de $C$ ) pero ningún $n -1$ bloques de $C$ cubren la tabla. Encuentra el mayor valor posible de $n$ .

Dado un hexágono convexo $ABCDEF$ con $AB \parallel DE$ , $BC \parallel EF$ y $CD \parallel FA$ . La distancia entre las líneas $AB$ y $DE$ es igual a la distancia entre las líneas $BC$ y $EF$ y a la distancia entre las líneas $CD$ y $FA$ . Demuestra que la suma $AD+BE+CF$ no excede el perímetro del hexágono $ABCDEF$ .

Se da un trinomio cuadrático $p(x)$ con coeficientes reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que la ecuación $p(x) = \frac{1}{n}$ no tiene raíces racionales.

Sean $a, b, c$ y $d$ números reales positivos tales que $abcd = 1$ . Demuestra que \n\[\frac{(a-1)(c+1)}{1+bc+c} + \frac{(b-1)(d+1)}{1+cd+d} + \frac{(c-1)(a+1)}{1+da+a} + \frac{(d-1)(b+1)}{1+ab+b} \geq 0.\]

Encuentra todos los enteros positivos impares $n>1$ tales que existe una permutación $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ de los números $1, 2,3, \ldots, n$ donde $n$ divide a uno de los números $a_k^2 - a_{k+1} - 1$ y $a_k^2 - a_{k+1} + 1$ para cada $k$ , $1 \leq k \leq n$ (asumimos $a_{n+1}=a_1$ ) .

Dado un trapecio $ABCD$ ( $AD \parallel BC$ ) con $\angle ABC > 90^\circ$ . Se elige un punto $M$ en el lado lateral $AB$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $MAD$ y $MBC$ , respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $MO_1D$ y $MO_2C$ se intersectan nuevamente en el punto $N$ . Demuestra que la línea $O_1O_2$ pasa por el punto $N$ .