Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$, $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

Encuentra todos los cuadrados perfectos $n$ tales que si el entero positivo $a\ge 15$ es algún divisor de $n$ entonces $a+15$ es una potencia prima.

$a,b,c$ son enteros no negativos. Resuelve: $a!+5^b=7^c$

Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$. Las líneas $AP, BP$ y $CP$ intersecan nuevamente las circunferencias circunscritas de los triángulos $PBC, PCA$ y $PAB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Demuestra que $P$ es el ortocentro del triángulo $DEF$ si y sólo si $P$ es el incentro del triángulo $ABC$.

El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$. La mediatriz del lado $BC$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$, respectivamente. Demuestra que las líneas $HM$ y $AN$ se encuentran en la circunferencia circunscrita de $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$. Sea $F$ un punto en el segmento $CD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y sólo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$. Sean $l_B$ y $l_C$ dos líneas que pasan por los puntos $B$ y $C$, respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$. Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$, respectivamente. Asuma que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$. Sea $DA$ interseca a $l_C$ en $F$ y sea $EA$ interseca a $l_B$ en $G$. Si $O$, $O_1$ y $O_2$ son circuncentros de los triángulos $ABC$, $ADG$ y $AEF$, respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$, demuestra que $l_B \parallel OP \parallel l_C$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ y $\angle B = 30^{\circ}$. La perpendicular en el punto medio $M$ de $BC$ se encuentra con la bisectriz $BK$ del ángulo $B$ en el punto $E$. La mediatriz de $EK$ se encuentra con $AB$ en $D$. Demuestra que $KD$ es perpendicular a $DE$.

Encuentra todos los enteros positivos $x, y, z$ tales que $45^x-6^y=2019^z$.

Encuentra todos los enteros $x,y$ tales que $x^3(y+1)+y^3(x+1)=19$.