Encuentra todos los números primos $p$ y enteros no negativos $x\neq y$ tales que $x^4- y^4=p(x^3-y^3)$.

Encuentra todas las ternas $(p, q, r)$ de números primos tales que todos los siguientes números son enteros $\frac{p^2 + 2q}{q+r}, \frac{q^2+9r}{r+p}, \frac{r^2+3p}{p+q}$

Sea $S$ un conjunto de $100$ números enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: 'Entre cada cuatro números de $S$, hay un número que divide a cada uno de los otros tres o hay un número que es igual a la suma de los otros tres.' Demuestra que el conjunto $S$ contiene un número que divide a los otros $99$ números de $S$.

Demuestra que para cualquier número real positivo $a, b, c$ tal que $a + b + c = ab + bc + ca$, la siguiente desigualdad se cumple $3 + \sqrt[3]{\frac{a^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+1}{2}}\leq 2(a+b+c)$

Sean $a, b, c$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad $(a^2+ac+c^2) \left( \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+c} \right)+b^2 \left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b} \right)>a+b+c$

Sean $a, b, c, d$ números reales positivos tales que $abcd = 1$. Demuestra la desigualdad $\frac{1}{a^3 + b + c + d} + \frac{1}{a + b^3 + c + d} + \frac{1}{a + b + c^3 + d} + \frac{1}{a + b + c + d^3} \leq \frac{a+b+c+d}{4}$

Sean $a$ , $b$ dos números reales distintos y sea $c$ un número real positivo tal que $a^4 - 2019a = b^4 - 2019b = c$ . Demuestra que $- \sqrt{c} < ab < 0$.

Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos no vacíos de $X = \{1, 2, . . . , 11 \}$ con $A \cup B = X$ . Sea $P_A$ el producto de todos los elementos de $A$ y sea $P_B$ el producto de todos los elementos de $B$ . Encuentra el valor mínimo y máximo posible de $P_A +P_B$ y encuentra todos los posibles casos de igualdad.

Sean $a, b, c $ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestra que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$

Los números reales $a$ y $b$ satisfacen $a^3+b^3-6ab=-11$ . Demuestra que $-\frac{7}{3}<a+b<-2$ .