En una tabla de $ 17\times 17$ casillas, se colorean $ n$ casillas de negro. Llamamos línea a cualquiera de las filas, columnas o cualquiera de las dos diagonales de la tabla. En un paso, si al menos $ 6$ de las casillas en alguna línea son negras, entonces uno puede pintar todas las casillas de esta línea de negro. Encuentra el valor mínimo de $ n$ tal que para alguna disposición inicial de $ n$ casillas negras uno puede pintar todas las casillas de la tabla de negro en algunos pasos.

Dado un cuadrilátero $ ABCD$ con $ \angle B=\angle D=90^{\circ}$ . El punto $ M$ se elige en el segmento $ AB$ de manera que $ AD=AM$ . Los rayos $ DM$ y $ CB$ se intersecan en el punto $ N$ . Los puntos $ H$ y $ K$ son los pies de las perpendiculares desde los puntos $ D$ y $ C$ a las líneas $ AC$ y $ AN$ , respectivamente. Demuestra que $ \angle MHN=\angle MCK$ .

En el plano, se elige un sistema de coordenadas cartesianas. Dados los puntos $ A_1,A_2,A_3,A_4$ en la parábola $ y = x^2$ , y los puntos $ B_1,B_2,B_3,B_4$ en la parábola $ y = 2009x^2$ . Los puntos $ A_1,A_2,A_3,A_4$ son concíclicos, y los puntos $ A_i$ y $ B_i$ tienen abscisas iguales para cada $ i = 1,2,3,4$ . Demuestra que los puntos $ B_1,B_2,B_3,B_4$ también son concíclicos.

Para un hexágono convexo $ ABCDEF$ con un área $ S$ , demuestra que: \[ AC\cdot(BD+BF-DF)+CE\cdot(BD+DF-BF)+AE\cdot(BF+DF-BD)\geq 2\sqrt{3}S\n\]

Encuentra todos los reales $ a$ , tales que existe una función $ f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface la siguiente desigualdad: \[ x+af(y)\leq y+f(f(x))\n\] para todo $ x,y\in\mathbb{R}$

Encuentra todos los pares de enteros $ (x,y)$ , tales que \[ x^2 - 2009y + 2y^2 = 0\n\]

Para cada entero positivo $ n$ , sea $ f(n)$ el número de formas de representar $ n$ como una suma de potencias de 2 con exponentes enteros no negativos. Las representaciones que difieren solo en el orden de sus sumandos se consideran iguales. Por ejemplo, $ f(4) = 4$ , porque el número 4 se puede representar de las siguientes cuatro formas: 4; 2+2; 2+1+1; 1+1+1+1. Demuestre que, para cualquier entero $ n \geq 3$ tenemos $ 2^{\frac {n^2}{4}} < f(2^n) < 2^{\frac {n^2}2}$ .

Encuentre todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

Una matriz de $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se llama matriz plateada si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $ i$ -ésima fila y la $ i$ -ésima columna juntas contienen todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz plateada para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices plateadas para infinitos valores de $ n$ .

Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ para }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestre que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \]