Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño en el triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las líneas $ BV$ y $ CW$ se encuentran en $ T$ . Demuestre que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos diferentes $ A,B,C,D$ en un círculo $ \Gamma$ de manera que el triángulo $ BCD$ no sea rectángulo. Demuestre que: (a) Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ se encuentran con la línea $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las líneas $ CV$ y $ BW$ se encuentran en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos de línea $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos.

En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados están coloreados alternativamente de blanco y negro (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran a lo largo de los lados de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ . a) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares. b) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ . c) Demuestre que no existe una constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ .

Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, no cuatro de los cuales son coplanarios, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ . Un árbol $\mathcal{AB}$ - es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un punto final en $\mathcal{A}$ y un punto final en $\mathcal{B}$ , y tal que ningún segmento forma una polilínea cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ - se transforma en otro de la siguiente manera: elige tres segmentos distintos $A_1B_1$ , $B_1A_2$ , y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ - tal que $A_1$ está en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$ , y elimina el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$ . Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$ - , demuestra que toda secuencia de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible ninguna otra transformación) después de un número finito de pasos.

Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ con radio $R$ . Las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concurrentes en $X$ . Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$ . $(a)$ Demuestra que $R\geq r_1+r_2+r_3$ $(b)$ Si $R= r_1+r_2+r_3$ , demuestra que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$ , $A_2B_3$ , $A_3B_1$ son concíclicos

Los números del $1$ al $64$ deben escribirse en los pequeños cuadrados de un tablero de ajedrez, con un número diferente en cada pequeño cuadrado. Considere los $112$ números que puede hacer sumando los números en dos cuadrados pequeños que tienen un borde común. ¿Es posible escribir los números en los cuadrados de manera que estas $112$ sumas sean todas diferentes?

(i) $ABC$ es un triángulo con un ángulo recto en $A$ , y $P$ es un punto en la hipotenusa $BC$ . La línea $AP$ producida más allá de $P$ se encuentra con la línea que pasa por $B$ que es perpendicular a $BC$ en $U$ . Pruebe que $BU = BA$ si, y sólo si, $CP = CA$ . (ii) $A$ es un punto en la semicircunferencia $CB$ , y los puntos $X$ e $Y$ están en el segmento de línea $BC$ . La línea $AX$ , producida más allá de $X$ , se encuentra con la línea que pasa por $B$ que es perpendicular a $BC$ en $U$ . También la línea $AY$ , producida más allá de $Y$ , se encuentra con la línea que pasa por $C$ que es perpendicular a $BC$ en $V$ . Dado que $BY = BA$ y $CX = CA$ , determine el ángulo $\angle VAU$ .

Ahmad y Salem juegan el siguiente juego. Ahmad escribe dos enteros (no necesariamente diferentes) en un tablero. Salem escribe su suma y producto. Ahmad hace lo mismo: escribe la suma y el producto de los dos números que Salem acaba de escribir. Continúan de esta manera, sin detenerse a menos que los dos jugadores escriban los mismos dos números uno tras otro (¡porque entonces están atascados!). El orden de los dos números que escribe cada jugador no es importante. Así, si Ahmad empieza escribiendo $3$ y $-2$ , los cinco primeros movimientos (o pasos) son los que se muestran: (a)\tPaso 1 (Ahmad) $3$ y $-2$ (b)\tPaso 2 (Salem) $1$ y $-6$ (c)\tPaso 3 (Ahmad) $-5$ y $-6$ (d)\tPaso 4 (Salem) $-11$ y $30$ (e)\tPaso 5 (Ahmad) $19$ y $-330$ (i)\tDescriba todos los pares de números que Ahmad podría escribir, y asegúrese de que Salem debe escribir los mismos números, y así el juego se detiene en el paso 2. (ii)\t¿Qué par de enteros debería escribir Ahmad para que el juego termine en el paso 4? (iii)\tDescriba todos los pares de enteros que Ahmad podría escribir en el paso 1, para que el juego termine después de un número finito de pasos. (iv)\tAhmad y Salem deciden cambiar el juego. El primer jugador escribe tres números en el tablero, $u, v$ y $w$ . El segundo jugador escribe entonces los tres números $u + v + w,uv + vw + wu$ y $uvw$ , y proceden como antes, turnándose, y utilizando esta nueva regla que describe cómo calcular los tres números siguientes. Si Ahmad va primero, determine todas las colecciones de tres números que puede escribir, asegurándose de que Salem tiene que escribir los mismos tres números en el siguiente paso.

Una secuencia $a_0,a_1,a_2,\cdots$ satisface las condiciones $a_0 = 0$ , $a_{n-1}^2 - a_{n-1} = a_n^2 + a_n$ 1) determine los dos valores posibles de $a_1$ . luego determine todos los valores posibles de $a_2$ . 2) para cada $n$ , pruebe que $a_{n+1}=a_n+1$ o $a_{n+1} = -a_n$ 3) Describa los valores posibles de $a_{1435}$ 4) Pruebe que los valores que obtuvo en (3) son correctos

Llamamos entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de diferente paridad. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , la diagonal $BD$ no biseca ni el ángulo $ABC$ ni el ángulo $CDA$ . El punto $P$ se encuentra dentro de $ABCD$ y satisface\n\[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{y}\quad \angle PDC=\angle BDA.\]\nDemuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y sólo si $AP=CP$ .