Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$ , $t_2$ , ..., $t_n$ números reales positivos tales que\n\[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\]\nDemuestre que $t_i$ , $t_j$ , $t_k$ son longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$ , $j$ , $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$ .

Definimos un 'gancho' como una figura formada por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen de abajo, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura.\n[asy]\nunitsize(0.5 cm);\n\ndraw((0,0)--(1,0));\ndraw((0,1)--(1,1));\ndraw((2,1)--(3,1));\ndraw((0,2)--(3,2));\ndraw((0,3)--(3,3));\ndraw((0,0)--(0,3));\ndraw((1,0)--(1,3));\ndraw((2,1)--(2,3));\ndraw((3,1)--(3,3));\n[/asy] Determine todos los rectángulos $ m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos tales que\n- el rectángulo está cubierto sin huecos y sin superposiciones\n- ninguna parte de un gancho cubre un área fuera del rectángulo.

Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ tenemos las siguientes relaciones\n\[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$ . La circunferencia de diámetro $BC$ interseca a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Denotemos por $O$ el punto medio del lado $BC$ . Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se intersecan en $R$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que se encuentra en el lado $BC$ .

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB\cdot CD = BC\cdot DA$ . El punto $X$ está dentro de $ABCD$ tal que $$\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.$$ Demuestra que $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$ .

Sean $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos. Suponga que hay un entero $N > 1$ tal que, para cada $n \geq N$ , el número $$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$ es un entero. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$ .

Un sitio es cualquier punto $(x, y)$ en el plano tal que $x$ y $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales a 20. Inicialmente, cada uno de los 400 sitios está desocupado. Amy y Ben se turnan para colocar piedras, comenzando Amy. En su turno, Amy coloca una nueva piedra roja en un sitio desocupado tal que la distancia entre dos sitios ocupados por piedras rojas no sea igual a $\sqrt{5}$ . En su turno, Ben coloca una nueva piedra azul en cualquier sitio desocupado. (Un sitio ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro sitio ocupado). Se detienen tan pronto como un jugador no puede colocar una piedra. Encuentra el mayor $K$ tal que Amy pueda asegurar que coloca al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Ben coloque sus piedras azules.

Un triángulo anti-Pascal es un arreglo triangular equilátero de números tal que, excepto por los números en la fila inferior, cada número es el valor absoluto de la diferencia de los dos números inmediatamente debajo de él. Por ejemplo, el siguiente es un triángulo anti-Pascal con cuatro filas que contiene cada entero de $1$ a $10$ . \[\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } \vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt} \end{array}\] ¿Existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contiene cada entero de $1$ a $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?

Encuentra todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existen números reales $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ que satisfacen $a_{n + 1} = a_1$ , $a_{n + 2} = a_2$ y $$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$$ para $i = 1, 2, \dots, n$ .

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $AD = AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ se intersecan en los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$ respectivamente. Demuestra que las líneas $DE$ y $FG$ son paralelas o son la misma línea.