Las filas y columnas de una tabla de $2^n \times 2^n$ están numeradas de $0$ a $2^{n}-1.$ Las celdas de la tabla han sido coloreadas de tal manera que se satisface la siguiente propiedad: para cada $0 \leq i,j \leq 2^n - 1,$ la $j$ - ésima celda en la $i$ - ésima fila y la $(i+j)$ - ésima celda en la $j$ - ésima fila tienen el mismo color. (Los índices de las celdas en una fila se consideran módulo $2^n$ . ) Demostrar que el número máximo posible de colores es $2^n$ .

Hallar todas las funciones $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que $\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)$ es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}.$

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC \parallel AE,$ $AB = BC + AE,$ y $\angle ABC = \angle CDE.$ Sea $M$ el punto medio de $CE,$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $BCD.$ Dado que $\angle DMO = 90^{\circ},$ demuestre que $2 \angle BDA = \angle CDE.$

Dado un triángulo $ABC$ , con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $D$ . Sea $E$ un punto en el arco $BDC$ , y $F$ un punto en el segmento $BC$ , tal que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$ . Si $G$ es el punto medio de $IF$ , demuestre que el punto de encuentro de las líneas $EI$ y $DG$ se encuentra en $\Gamma$ .

Sea $A_1A_2 \ldots A_n$ un polígono convexo. Se elige un punto $P$ dentro de este polígono de tal manera que sus proyecciones $P_1, \ldots , P_n$ sobre las líneas $A_1A_2, \ldots , A_nA_1$ respectivamente se encuentren en los lados del polígono. Demuestre que para puntos arbitrarios $X_1, \ldots , X_n$ en los lados $A_1A_2, \ldots , A_nA_1$ respectivamente, \[\max \left\{ \frac{X_1X_2}{P_1P_2}, \ldots, \frac{X_nX_1}{P_nP_1} \right\} \geq 1.\]

Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ (con $CA \neq CB$). Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ se encuentran de nuevo con su circunferencia circunscrita $\Gamma$ en $K$, $L$ y $M$ respectivamente. La recta tangente en $C$ a $\Gamma$ se encuentra con la recta $AB$ en $S$. Demostrar que de $SC = SP$ se deduce $MK = ML$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $D, E, F$ los pies de las alturas que están sobre $BC, CA, AB$ respectivamente. Uno de los puntos de intersección de la recta $EF$ y la circunferencia circunscrita es $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se encuentran en el punto $Q$. Demostrar que $AP = AQ$.

Tres arcos circulares $\gamma_1, \gamma_2,$ y $\gamma_3$ conectan los puntos $A$ y $C.$ Estos arcos se encuentran en el mismo semiplano definido por la línea $AC$ de tal manera que el arco $\gamma_2$ se encuentra entre los arcos $\gamma_1$ y $\gamma_3.$ El punto $B$ se encuentra en el segmento $AC.$ Sean $h_1, h_2$ , y $h_3$ tres rayos que comienzan en $B,$ que se encuentran en el mismo semiplano, estando $h_2$ entre $h_1$ y $h_3.$ Para $i, j = 1, 2, 3,$ denotemos por $V_{ij}$ el punto de intersección de $h_i$ y $\gamma_j$ (vea la Figura abajo). Denotemos por $\widehat{V_{ij}V_{kj}}\widehat{V_{kl}V_{il}}$ el cuadrilátero curvo, cuyos lados son los segmentos $V_{ij}V_{il},$ $V_{kj}V_{kl}$ y los arcos $V_{ij}V_{kj}$ y $V_{il}V_{kl}.$ Decimos que este cuadrilátero es $circunscrito$ si existe un círculo que toca estos dos segmentos y dos arcos. Demuestre que si los cuadriláteros curvos $\widehat{V_{11}V_{21}}\widehat{V_{22}V_{12}}, \widehat{V_{12}V_{22}}\widehat{V_{23}V_{13}},\widehat{V_{21}V_{31}}\widehat{V_{32}V_{22}}$ son circunscritos, entonces el cuadrilátero curvo $\widehat{V_{22}V_{32}}\widehat{V_{33}V_{23}}$ también es circunscrito.

Los vértices $X, Y , Z$ de un triángulo equilátero $XYZ$ se encuentran respectivamente en los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo acutángulo $ABC.$ Demuestre que el incentro del triángulo $ABC$ se encuentra dentro del triángulo $XYZ.$

$n \geq 4$ jugadores participaron en un torneo de tenis. Dos jugadores cualesquiera han jugado exactamente un partido, y no hubo empate. Llamamos $mala$ a una compañía de cuatro jugadores si un jugador fue derrotado por los otros tres jugadores, y cada uno de estos tres jugadores ganó un partido y perdió otro partido entre ellos. Suponga que no hay ninguna compañía mala en este torneo. Sean $w_i$ y $l_i$ respectivamente el número de victorias y derrotas del $i$ - ésimo jugador. Demuestre que\n\[\sum^n_{i=1} \left(w_i - l_i\right)^3 \geq 0.\]