Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ contiene inicialmente una moneda. Se permiten las siguientes operaciones\nTipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , quitar una moneda de $B_j$ y agregar dos monedas a $B_{j+1}$ ;\nTipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , quitar una moneda de $B_k$ e intercambiar el contenido (posiblemente vacío) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ .\nDetermine si existe una secuencia finita de operaciones de los tipos permitidos, tal que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contiene exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

2500 reyes de ajedrez deben ser colocados en un tablero de ajedrez de $100 \times 100$ de modo que\n(i) ningún rey pueda capturar a otro (es decir, no se colocan dos reyes en dos casillas que comparten un vértice);\n(ii) cada fila y cada columna contiene exactamente 25 reyes.\nEncuentra el número de tales arreglos. (Se supone que dos arreglos que difieren por rotación o simetría son diferentes.)

En algún planeta, hay $2^N$ países $(N \geq 4).$ Cada país tiene una bandera de $N$ unidades de ancho y una unidad de alto compuesta por $N$ campos de tamaño $1 \times 1,$ cada campo siendo amarillo o azul. No hay dos países con la misma bandera. Decimos que un conjunto de $N$ banderas es diverso si estas banderas se pueden organizar en un cuadrado de $N \times N$ de modo que los $N$ campos en su diagonal principal tengan el mismo color. Determine el entero positivo más pequeño $M$ tal que entre cualesquiera $M$ banderas distintas, existen $N$ banderas que forman un conjunto diverso.

En un concierto, 20 cantantes actuarán. Para cada cantante, hay un conjunto (posiblemente vacío) de otros cantantes tal que él desea actuar después de todos los cantantes de ese conjunto. ¿Puede ocurrir que haya exactamente 2010 órdenes de los cantantes tales que todos sus deseos se cumplan?

Dados seis números positivos $a,b,c,d,e,f$ tales que $a < b < c < d < e < f.$ Sea $a+c+e=S$ y $b+d+f=T.$ Pruebe que \[2ST > \sqrt{3(S+T)\left(S(bd + bf + df) + T(ac + ae + ce) \right)}.\]

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una sucesión de números reales positivos, y $s$ un entero positivo, tal que \[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ para todo } \ n > s.\] Pruebe que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$ , tales que \[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ para todo } \ n \geq N.\]

Suponga que $f$ y $g$ son dos funciones definidas en el conjunto de los enteros positivos y que toman valores enteros positivos. Suponga también que las ecuaciones $f(g(n)) = f(n) + 1$ y $g(f(n)) = g(n) + 1$ se cumplen para todos los enteros positivos. Pruebe que $f(n) = g(n)$ para todo entero positivo $n.$

Denotemos por $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Q}^+ \mapsto \mathbb{Q}^+$ que satisfacen la siguiente ecuación para todo $x, y \in \mathbb{Q}^+:$ \[f\left( f(x)^2y \right) = x^3 f(xy).\]

Sean $a, b$ enteros, y sea $P(x) = ax^3+bx.$ Para cualquier entero positivo $n$ decimos que el par $(a,b)$ es $n$ - bueno si $n | P(m)-P(k)$ implica $n | m - k$ para todos los enteros $m, k.$ Decimos que $(a,b)$ es $muy \ bueno$ si $(a,b)$ es $n$ - bueno para infinitos enteros positivos $n.$ (a) Encuentra un par $(a,b)$ que es 51-bueno, pero no muy bueno. (b) Demuestra que todos los pares 2010-buenos son muy buenos.

Encuentra el número más pequeño $n$ tal que existan polinomios $f_1, f_2, \ldots , f_n$ con coeficientes racionales que satisfacen \[x^2+7 = f_1\left(x\right)^2 + f_2\left(x\right)^2 + \ldots + f_n\left(x\right)^2.\]