Encuentra todos los pares $(m,n)$ de enteros no negativos para los cuales \[m^2 + 2 \cdot 3^n = m\left(2^{n+1} - 1\right).\]

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ para el cual existe un conjunto $\{s_1, s_2, \ldots , s_n\}$ que consta de $n$ enteros positivos distintos tales que \[ \left( 1 - \frac{1}{s_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{s_2} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{s_n} \right) = \frac{51}{2010}.\]

Sea $n > 1$ un entero. En una disposición circular de $n$ lámparas $L_0, \ldots, L_{n-1},$ cada una de las cuales puede estar ENCENDIDA o APAGADA, comenzamos con la situación en la que todas las lámparas están ENCENDIDAS, y luego llevamos a cabo una secuencia de pasos, $Step_0, Step_1, \ldots .$ Si $L_{j-1}$ ( $j$ se toma mod $n$ ) está ENCENDIDA, entonces $Step_j$ cambia el estado de $L_j$ (pasa de ENCENDIDA a APAGADA o de APAGADA a ENCENDIDA) pero no cambia el estado de ninguna de las otras lámparas. Si $L_{j-1}$ está APAGADA, entonces $Step_j$ no cambia nada en absoluto. Demuestra que: (i) Existe un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos todas las lámparas vuelven a estar ENCENDIDAS, (ii) Si $n$ tiene la forma $2^k$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2-1$ pasos, (iii) Si $n$ tiene la forma $2^k + 1$ entonces todas las lámparas están ENCENDIDAS después de $n^2 - n + 1$ pasos.

Para tres puntos $A,B,C$ en el plano, definimos $m(ABC)$ como la longitud más pequeña de las tres alturas del triángulo $ABC$ , donde en el caso de que $A$ , $B$ , $C$ sean colineales, establecemos $m(ABC) = 0$ . Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos dados en el plano. Demuestra que para cualquier punto $X$ en el plano, \[ m(ABC) \leq m(ABX) + m(AXC) + m(XBC). \]

Algunos cuadrados de una tabla de $n \times n$ ( $n>2$ ) son negros, el resto son blancos. En cada cuadrado blanco escribimos el número de todos los cuadrados negros que tienen al menos un vértice común con él. Encuentre la suma máxima posible de todos estos números.

Sea $Z$ el conjunto de todos los enteros. Encuentre todas las funciones $f: Z->Z$ tales que $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ para todos los enteros $x,y$.

En un triángulo escaleno $ABC$, $I$ es el incentro y $CN$ es la bisectriz del ángulo $C$. La línea $CN$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $M$. La línea $l$ es paralela a $AB$ y toca el incírculo de $ABC$. El punto $R$ en $l$ es tal que $CI \bot IR$. La circunferencia circunscrita de $MNR$ se encuentra con la línea $IR$ nuevamente en S. Pruebe que $AS=BS$.

Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, inscrito en el círculo. Demuestre que $AC*BD*DE*CE*EA*FB \geq 27 AB * BC * CD * DE * EF * FA$.

Cada uno de $2k+1$ subconjuntos distintos de 7 elementos del conjunto de 20 elementos se interseca con exactamente $k$ de ellos. Encuentre el valor máximo posible de $k$.

Dado un número natural n tal que, para cualquier número natural $a,b$, el número $2^a3^b+1$ no es divisible por $n$. Demuestre que $2^c+3^d$ no es divisible por $n$ para cualquier natural $c$ y $d$.