3 Sea $ABCD$ un paralelogramo y $l$ la recta paralela a $AC$ que pasa por $D$ . Sean $E$ y $F$ puntos sobre $l$ tales que $DE=DF=DB$ . Demuestre que $EA,FC$ y $BD$ son concurrentes.

1 Determine si existe un entero positivo $n$ tal que para cualesquiera $n$ enteros positivos consecutivos, hay uno de ellos (denótese $c$ ) tal que $c$ puede escribirse como suma de enteros consecutivos (no necesariamente todos positivos) de a lo sumo $2020$ maneras distintas.

2 Sea $m$ un entero positivo. Halle el número de soluciones reales de la ecuación $$|\sum_{k=0}^{m} \binom{2m}{2k}x^k|=|x-1|^m$$

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero con una circunferencia inscrita $\omega$ . Sea $I$ el centro de $\omega$ , suponga que las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en $Q$ y las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$ , con $B$ en el segmento $AP$ y $D$ en el segmento $AQ$ . Sean $X$ y $Y$ los incentros de $\triangle PBD$ y $\triangle QBD$ , respectivamente. Sea $R$ la intersección de $PY$ y $QX$ . Demuestre que la recta $IR$ es perpendicular a $BD$ .

4 Se dice que una cuádrupla de enteros $(a, b, c, d)$ es buena si $ad-bc=2020$ . Se dice que dos cuádruplas buenas son disímiles si no es posible obtener una de la otra usando un número finito de aplicaciones de las siguientes operaciones: $$(a,b,c,d) \rightarrow (-c,-d,a,b)$$ $$(a,b,c,d) \rightarrow (a,b,c+a,d+b)$$ $$(a,b,c,d) \rightarrow (a,b,c-a,d-b)$$ Sea $A$ un conjunto de $k$ cuádruplas buenas, disímiles dos a dos. Demuestre que $k \leq 4284$ .

1 Determine todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que existe un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ son iguales.

2 Sea $n\geqslant 3$ un entero. Demuestre que existe un conjunto $S$ de $2n$ enteros positivos que satisface la siguiente propiedad: para todo $m=2,3,...,n$ el conjunto $S$ puede particionarse en dos subconjuntos con sumas de elementos iguales, siendo uno de los subconjuntos de cardinalidad $m$ .

3 Sea $a_0,a_1,a_2,\dots $ una sucesión de números reales tal que $a_0=0, a_1=1,$ y para todo $n\geq 2$ existe $1 \leq k \leq n$ que satisface \[ a_n=\frac{a_{n-1}+\dots + a_{n-k}}{k}. \] Halle el máximo valor posible de $a_{2018}-a_{2017}$ .

4 Sea $O$ el circuncentro, y $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario de $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y de sus antípodas en $\Omega$ . Denótese por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ , respectivamente. Las rectas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la recta $OP$ .

1 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $f : \mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $a^2+f(a)f(b)$ es divisible por $f(a)+b$ para todos los enteros positivos $a,b$ .