3 Considere un segmento $[AB]$ con punto medio $M$ y mediatriz $m$ . Para cada punto $ X \ne M$ sobre $m$ , consideramos el punto de intersección $Y$ de la recta $BX$ con la bisectriz del ángulo $\angle BAX$ . Cuando $X$ se aproxima a $M$ , $Y$ se aproxima a un punto de $[AB]$ . ¿Cuál? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/3/17d72a23011a9ec22deb20184717cc9c020a2b.png redacción original: Considere un segmento [AB] con punto medio M y mediatriz m. Para cada punto X 6= M sobre m, consideramos el punto de intersección Y de la recta BX con la bisectriz del ángulo < BAX. Cuando X se aproxima a M, Y se aproxima a un punto de [AB]. ¿Cuál?

4 ¿Cuál es el número máximo de tetraedros regulares macizos que se pueden colocar unos contra otros de modo que una de sus aristas coincida con un segmento dado en el espacio? redacción original: ¿Cuál es el número máximo de tetraedros regulares macizos que se pueden colocar unos contra otros de modo que una de sus aristas coincida con un segmento dado en el espacio?

1 Determine todos los números naturales $n$ de $4$ cifras cuyo cuádruple menos el número formado por las cifras de $n$ en orden inverso es igual a $30$ .

2 Sean $a, b$ y $c$ números enteros tales que $a+b+c = 0$ . Demuestre que $\frac12(a^4 +b^4 +c^4)$ es un cuadrado perfecto.

3 Una pirámide cuadrangular y un tetraedro regular tienen aristas todas de igual longitud. Se pegan de modo que tengan en común $1$ triángulo equilátero. Demuestre que el cuerpo resultante tiene exactamente $5$ caras.

4 Un cuadrado de lados $1$ y cuatro círculos de radio $1$ , cada uno con un vértice del cuadrado como centro. Halle el área de la parte sombreada (véase la figura). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/6/6e28d94094d69bac13c2702853ac2c906a80a1.png

1 Considere un triángulo con lados de longitudes 501m, 668m, 835m. ¿Cuántas rectas se pueden trazar con la propiedad de que dicha recta divida por la mitad tanto el área como el perímetro?

2 Dos bolsas contienen algunos números y el número total de números es primo. Cuando transferimos el número 170 de la bolsa 1 a la bolsa 2, el promedio en ambas bolsas aumenta en uno. Si la suma total de todos los números es 2004, halle el número de números.

2 Evidentemente, podemos poner 100 bolas unitarias en una caja de $10\times10\times1$ . ¿Cómo se pueden poner $105$ bolas unitarias? ¿Cómo podemos poner $106$ bolas unitarias?

3 Elfos y trolls están sentados alrededor de una mesa redonda, 60 criaturas en total. Los trolls siempre mienten y todos los elfos siempre dicen la verdad, excepto cuando cometen un pequeño error. Todos afirman estar sentados entre un elfo y un troll, ¡pero exactamente dos elfos cometieron un error! ¿Cuántos trolls hay en esta mesa? Kurt Gödel