(a) Si $m, n$ son enteros positivos tales que $2^n-1$ divide a $m^2 + 9$ , demuestre que $n$ es una potencia de $2$ ; (b) Si $n$ es una potencia de $2$ , demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $2^n-1$ divide a $m^2 + 9$ .

Sean Q+ y Z los conjuntos de los racionales positivos y de los enteros, respectivamente. Halle todas las funciones f : Q+ → Z que satisfacen las siguientes condiciones: (i) f(1999) = 1; (ii) f(ab) = f(a) + f(b) para todos a, b ∈ Q+; (iii) f(a + b) ≥ min{f(a), f(b)} para todos a, b ∈ Q+.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ . Considere el punto $A_1$ sobre $AI$ diferente de $A$ , tal que el punto medio de $AA_1$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. (a) Demuestre que $S_{A_1B_1C_1}=(4R+r)p$ , donde $p$ es el semiperímetro, $R$ es el circunradio y $r$ es el inradio de $ABC$ . (b) Demuestre que $S_{A_1B_1C_1}\ge9S_{ABC}$ .

En un triángulo isósceles $ABC~(AC=BC)$ , sea $O$ su circuncentro, $D$ el punto medio de $AC$ y $E$ el baricentro de $DBC$ . Demuestre que $OE$ es perpendicular a $BD$ .

Demuestre que cualquier grupo de personas puede dividirse en dos grupos disjuntos $A$ y $B$ tales que todo miembro de $A$ tiene al menos la mitad de sus conocidos en $B$ y todo miembro de $B$ tiene al menos la mitad de sus conocidos en $A$ (el conocimiento es recíproco).

Demuestre que es imposible disponer los números $1,2,\ldots,1997$ alrededor de un círculo de tal manera que, si $x$ y $y$ son cualesquiera dos números vecinos, entonces $499\le|x-y|\le997$ .

Decimos que un subconjunto $A$ de $\mathbb N$ es bueno si para algún entero positivo $n$ , la ecuación $x-y=n$ admite infinitas soluciones con $x,y\in A$ . Si $A_1,A_2,\ldots,A_{100}$ son conjuntos cuya unión es $\mathbb N$ , demuestre que al menos uno de los $A_i$ s es bueno.

(a) Demuestre que, para cada entero positivo $n$ , el número de polinomios mónicos de grado $n$ con coeficientes enteros que tienen todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria es finito. (b) Sea $P(x)$ un polinomio mónico con coeficientes enteros que tiene todas sus raíces sobre la circunferencia unitaria. Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $y^m=1$ para cada raíz $y$ de $P(x)$ .

Considere $k$ enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_k$ que satisfacen $1\le a_1<a_2<\ldots<a_k\le n$ y $\operatorname{lcm}(a_i,a_j)\le n$ para cualesquiera $i,j$ . Demuestre que $$k\le2\lfloor\sqrt n\rfloor.$$

Sea $ABC$ un triángulo y $L$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en el punto $P$ . Sea $L_1$ la circunferencia tangente a $AP,BP$ y $L$ . De manera similar, sea $L_2$ la circunferencia tangente a $AP,CP$ y $L$ . Demuestre que los puntos de tangencia de $L_1$ y $L_2$ con $AP$ coinciden.