1 Cada mañana, Aya camina $9$ kilómetros y luego termina en la cafetería. Un día, camina a $s$ kilómetros por hora, y la caminata le toma $4$ horas, incluyendo $t$ minutos en la cafetería. Otra mañana, camina a $s+2$ kilómetros por hora, y la caminata le toma $2$ horas y $24$ minutos, incluyendo $t$ minutos en la cafetería. Esta mañana, si camina a $s+\frac12$ kilómetros por hora, ¿cuántos minutos tomará la caminata, incluyendo los $t$ minutos en la cafetería?

9 Encuentra todas las soluciones reales positivas de: \begin{eqnarray*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\ \end{eqnarray*}

A3 Sean $a\le b\le c \le d$ ; demuestre que: $$ab^3+bc^3+cd^3+da^3\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2$$

7 Sea $N$ el mayor entero de cuatro dígitos con la propiedad de que siempre que uno de sus dígitos se cambie a $1$ , el número resultante es divisible por $7$ . Sean $Q$ y $R$ el cociente y el resto, respectivamente, cuando $N$ se divide por $1000$ . Halle $Q+R$ .

2 Una lista de enteros positivos tiene las siguientes propiedades: - La suma de los elementos de la lista es $30$ . - La moda única de la lista es $9$ . - La mediana de la lista es un entero positivo que no aparece en la propia lista. Halle la suma de los cuadrados de todos los elementos de la lista.

3 Halle el número de formas de colocar un dígito en cada celda de una cuadrícula de $2 \times 3$ de modo que la suma de los dos números formados al leer de izquierda a derecha sea $999$ , y la suma de los tres números formados al leer de arriba hacia abajo sea $99$ . La cuadrícula siguiente es un ejemplo de tal disposición porque $8+991 = 999$ y $9+9+81 = 99$ . [asy] unitsize(0.7cm); draw((0,0)--(3,0)); draw((0,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,0)--(0,2)); draw((1,0)--(1,2)); draw((2,0)--(2,2)); draw((3,0)--(3,2)); label("$9$", (0.5,0.5)); label("$9$", (1.5,0.5)); label("$1$", (2.5,0.5)); label("$0$", (0.5,1.5)); label("$0$", (1.5,1.5)); label("$8$", (2.5,1.5)); [/asy]

15 Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de cajas rectangulares que tienen volumen $23$ y área superficial $54$ . Suponga que $r$ es el menor radio posible de una esfera que puede contener cualquier elemento de $\mathcal{B}$ en su interior. Entonces $r^{2}$ puede expresarse como $\tfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Halle $p+q$ .

4 Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$\log_2\left({x \over yz}\right) = {1 \over 2}$$ $$\log_2\left({y \over xz}\right) = {1 \over 3}$$ $$\log_2\left({z \over xy}\right) = {1 \over 4}$$ Entonces el valor de $\left|\log_2(x^4y^3z^2)\right|$ es ${m \over n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Halle $m+n$

5 Sea ABCDEF un hexágono equilátero en el que todos los pares de lados opuestos son paralelos. El triángulo cuyos lados son las prolongaciones de AB, CD y EF tiene lados de longitudes 200, 240 y 300, respectivamente. Halle la longitud del lado del hexágono.

6 Alice elige un conjunto $A$ de enteros positivos. Luego Bob enumera todos los conjuntos finitos no vacíos $B$ de enteros positivos con la propiedad de que el elemento máximo de $B$ pertenece a $A$ . La lista de Bob tiene $2024$ conjuntos. Halle la suma de los elementos de $A$