Sean $x$ , $y$ y $z$ números reales positivos tales que $x+y+z = 1$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z} +\frac{z^2}{1+x} \leq 1$$

5 Demuestre que existen infinitos conjuntos disjuntos por pares $A(1), A(2),...,A(2014)$ que no son vacíos, cuya unión es el conjunto de los enteros positivos y que satisfacen la siguiente condición: Para enteros positivos arbitrarios $a$ y $b$ , al menos dos de los números $a$ , $b$ y $GCD(a,b)$ pertenecen a uno de los conjuntos $A(1), A(2),...,A(2014)$ .

1 Sea $ x $ un número real tal que $ x^3 $ y $ x^2+x $ son números racionales. Demuestre que $ x $ es racional.

2 Se da un triángulo $ ABC $ , y un segmento $ PQ=t $ sobre $ BC $ tal que $ P $ está entre $ B $ y $ Q $ y $ Q $ está entre $ P $ y $ C $ . Sea $ PP_1 || AB $ , con $ P_1 $ sobre $ AC $ , y $ PP_2 || AC $ , con $ P_2 $ sobre $ AB $ . Los puntos $ Q_1 $ y $ Q_2 $ se definen de manera análoga. Demuestre que la suma de las áreas de $ PQQ_1P_1 $ y $ PQQ_2P_2 $ no depende de la posición de $ PQ $ sobre $ BC $ .

5 Sean $ p, r $ números primos, y $ q $ natural. Resuelva la ecuación $ (p+q+r)^2=2p^2+2q^2+r^2 $ .

1 Halle todos los números primos de la forma $\tfrac{1}{11} \cdot \underbrace{11\ldots 1}_{2n \textrm{ ones}}$ , donde $n$ es un número natural.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo de radio $1$ . Demuestre que \[ 0< (AB+BC+CD+AD)-(AC+BD) < 4. \]

3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos y $a+b+c+2=abc$ . Demuestre que \[\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq{2}. \]

4 Halle todos los primos $p$ y $q$ tales que $(p+q)^p = (q-p)^{(2q-1)}$

5 Se dan $ n\geq 4 $ puntos en un plano tales que cualesquiera 3 de ellos no son colineales. Demuestre que existe un triángulo tal que todos los puntos están en su interior y hay exactamente un punto sobre cada lado.