1 Dado el triángulo $ABC$ . Considere la elipse $ \Omega _1$ que pasa por $C$ con focos en $A$ y $B$ . De manera análoga defina las elipses $ \Omega _2 , \Omega _3$ con focos $B,C$ y $C,A$ , respectivamente. Demuestre que si todas las elipses tienen un punto común $D$ , entonces $A,B,C,D$ están sobre una circunferencia. La elipse con focos $X,Y$ que pasa por $Z$ es el lugar geométrico de los puntos $T$ tales que $XT+YT=XZ+YZ$ . Ovchinnikov

2 La sucesión $ \{ a_n \} _{n \geq 1} $ está determinada por la siguiente regla: $a_1= \alpha$ y $a_{n+1} = 2a_n^2-1$ para todo $n \geq 1$ . ¿Cuántos valores reales puede tomar $ \alpha $ si $a_{2010}=0$ ? Ovchinnikov

4 Demuestre que para cualesquiera números reales $a_1,a_2,...,a_{n}, b_1,b_2,...,b_{n}$ se cumple la siguiente desigualdad: $(a_1^{2010}+a_2^{2010}+...+a_{n}^{2010})(b_1^{2010}+b_2^{2010}+...+b_n^{2010}) \geq (a_1b_1^{2009}+a_2b_2^{2009}+...+a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1+a_2^{2009}b_2+...+a_n^{2009}b_n)$ . Ovchinnikov

5 Sobre los lados del cuadrilátero convexo $ABCD$ , hacia el exterior, se construyen los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN$ . Sean $P,Q$ los puntos medios de $BL, AN$ , respectivamente, y $X$ el circuncentro de $CMD$ . Demuestre que $PQ$ es perpendicular a $KX$ . Ovchinnikov

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC<AB$ . Sus alturas $BB_{1}$ y $CC_{1}$ se intersecan en el punto $H$ , y las rectas $B_{1}C_{1}$ y $BC$ se intersecan en el punto $P$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ , y suponga que las rectas $MH$ y $AP$ se intersecan en el punto $K$ . Demuestre que $KM$ es la bisectriz del ángulo $\angle B_{1}KB$ .

6 ¿Es posible diseccionar una cuadrícula de $10\times10$ a lo largo de las líneas de la cuadrícula en: a) $4$ piezas de tipo I y $21$ piezas de tipo II; b) $4$ piezas de tipo I, $19$ piezas de tipo II y $2$ piezas de tipo III? (Las piezas pueden rotarse y reflejarse.) [asy] size(6cm); defaultpen(miterjoin); picture I, II, III; draw(I, unitsquare); draw(I, shift(1,0)*unitsquare); draw(I, shift(2,0)*unitsquare); draw(I, shift(3,0)*unitsquare); draw(II, unitsquare); draw(II, shift(1,0)*unitsquare); draw(II, shift(1,1)*unitsquare); draw(II, shift(2,1)*unitsquare); draw(III, unitsquare); draw(III, shift(1,0)*unitsquare); draw(III, shift(2,0)*unitsquare); draw(III, shift(2,1)*unitsquare); label(I, "I", (2,-1)); label(II, "II", (1.5,-1)); label(III, "III", (1.5,-1)); add(I); add(shift(5,0)*II); add(shift(9,0)*III); [/asy]

1 Sea $S_{n}$ el número de $n$ - uplas ordenadas de números naturales $(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ tales que \[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}=1.\] Determine la paridad de $S_{10}$ .

2 La circunferencia inscrita de $ABC$ toca a $AB$ , $BC$ , $AC$ en $C_1$ , $A_1$ , $B_1$ , respectivamente. Sea $H$ el punto de intersección de las alturas de $A_1B_1C_1$ , y sean $I$ y $O$ el incentro y el circuncentro de $ABC$ , respectivamente. Demuestre que $I, O, H$ están sobre una misma recta. Ovchinnikov

5 Sea $n\geqslant2$ un número natural. Halle todas las soluciones reales $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n})$ de la ecuación \[(1-x_{1})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+\ldots+(x_{n-1}-x_{n})^{2}+x_{n}^{2}=\frac{1}{n+1}.\]

5 Sea $O$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , $AD$ la altura de $ABC$ ( $ D \in BC$ ) , $ AD \cap CO =E$ , $M$ el punto medio de $AE$ , $F$ el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a $AO$ . Demuestre que el punto de intersección de $OM$ y $BC$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BOF$ . Ovchinnikov