1 Llamamos al conjunto $A\in \mathbb R^n$ CN si y solo si para toda función continua $f:A\to A$ existe algún $x\in A$ tal que $f(x)=x$ . a) Ejemplo: sabemos que $A = \{ x\in\mathbb R^n | |x|\leq 1 \}$ es CN. b) La circunferencia no es CN. ¿Cuáles de estos conjuntos son CN? 1) $A=\{x\in\mathbb R^3| |x|=1\}$ 2) La cruz $\{(x,y)\in\mathbb R^2|xy=0,\ |x|+|y|\leq1\}$ 3) La gráfica de la función $f:[0,1]\to \mathbb R$ definida por \[f(x)=\sin\frac 1x\ \mbox{if}\ x\neq0,\ f(0)=0\] Omid

2 Hay $n$ vectores en el plano. Podemos mover cada vector hacia adelante y hacia atrás sobre la recta en la que se encuentra el vector. Si hay 2 vectores cuyos extremos coinciden, podemos omitirlos y reemplazarlos por su suma (si su suma es no nula). Suponga que con estas operaciones, mediante 2 métodos diferentes, llegamos a un vector. Demuestre que estos vectores están sobre una recta común. Omid

3 Sea $f(n)$ el menor número tal que existe un $f(n)-$ m ino que contiene a todo $n-$ m ino. Demuestre que $10000\leq f(1384)\leq960000$ . Halle alguna cota para $f(n)$ . Omid

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sean $E$ y $F$ puntos variables sobre los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente, tales que $AE:EB=CF:FD$ . Sea $P$ el punto del segmento $EF$ tal que $PE:PF=AB:CD$ . Demuestre que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de $E$ y $F$ .

4 a) En 1872, en Texas, 3 mineros de oro encontraron una pieza de oro. Tienen una moneda que con probabilidad de $\frac 12$ saldrá de cada lado, y quieren dar la pieza de oro a uno de ellos dependiendo de cómo salga la moneda. Diseñe un método justo para los mineros (es decir, que cada uno de los 3 mineros gane la pieza de oro con probabilidad de $\frac 13$ ). b) En 2005, en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Sharif de Tecnología: suponga que $0<\alpha<1$ y queremos encontrar una manera para las personas llamadas $A$ y $B$ tal que la probabilidad de que gane $A$ sea $\alpha$ . ¿Es posible encontrar esta manera? c) En 2005, en el estadio Takhti de Ahvaz: dos equipos de fútbol tienen una competencia, y queremos elegir el lado de cada jugador con la moneda, pero no sabemos si nuestra moneda es justa o no. ¿Encuentre una manera de determinar si la moneda es justa o no? d) En 2005, en verano, en la Olimpiada Nacional de Matemáticas de Irán: cada estudiante tiene una moneda y debe encontrar una manera de determinar si la probabilidad de que la moneda caiga en CRUZ es $\alpha$ o no. Encuentre una manera para el estudiante. Omid

2 ¿Existe una sucesión $ \{b_{i}\}_{i=1}^\infty$ de números reales positivos tal que para cada $ m$ natural: \[ b_{m}+b_{2m}+b_{3m}+\dots=\frac1m\] Omid

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb Q\longrightarrow\mathbb Q$ tales que: $ f(x)+f(\frac1x)=1$ $ 2f(f(x))=f(2x)$ Omid

2 Definimos una relación entre subconjuntos de $\mathbb R ^n$ . $A \sim B\Longleftrightarrow$ podemos particionar $A,B$ en conjuntos $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ (es decir, $\displaystyle A=\bigcup_{i=1} ^n A_i,\ B=\bigcup_{i=1} ^n B_i, A_i\cap A_j=\emptyset,\ B_i\cap B_j=\emptyset$ ) y $A_i\simeq B_i$ . Diga si los siguientes conjuntos tienen la relación $\sim$ o no: a) Los números naturales y los números compuestos. b) Los números racionales y los números racionales con finitos dígitos en base 10. c) $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 2\}$ y $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 3\}$ d) $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2<1\}$ y $A\setminus \{(0,0)\}$ Omid

3 Sea $n(r)$ el número máximo posible de puntos de coordenadas enteras sobre un círculo de radio $r$ en el plano cartesiano. Demuestre que $n(r) < 6\sqrt[3]{3 \pi r^2}.$ Amir

1 Un avión quiere ir desde un punto del ecuador y, en cada momento, se dirigirá hacia el noreste con velocidad $v$ . Suponga que el radio de la Tierra es $R$ . a) ¿Llegará el avión al polo norte? Si es así, ¿cuánto tiempo tardará en llegar al polo norte? b) ¿Girará el avión un número finito de veces alrededor del polo norte? Si es así, ¿cuántas veces? Omid