2013 g6 Sea $ABCD$ un trapecio rectángulo, con ángulos rectos en $B$ y $C$ , y además con $CD <BC$ . Usando regla y compás, ubique un punto $P$ en el interior del segmento $BC$ tal que $\angle APB = 2\angle DPC$ .

1 Resuelva en enteros positivos la ecuación $1005^x + 2011^y = 1006^z$ .

9.6 Dados pares $(a_1,b_1)$ , $(a_2,b_2),\ldots, (a_n,b_n)$ de números reales no negativos tales que para cualesquiera reales $x$ e $y$ se cumple la igualdad $$\sqrt{a_1x^2+b_1y^2}+\sqrt{a_2x^2+b_2y^2}+\ldots+\sqrt{a_nx^2+b_ny^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$ Demuestre que $a_1=b_1,a_2=b_2,\ldots$ , $a_n=b_n$ . A. Vaidzelevich

6 Sea $S$ el conjunto de números naturales desde $1$ hasta $1001$ , $S=\{1,2,...,1001\}$ . Lisandro piensa un número $N$ de $S$ , y Carla debe averiguar ese número con el siguiente procedimiento. Ella le da a Lisandro una lista de subconjuntos de $S$ ; Lisandro la lee y le dice a Carla cuántos subconjuntos de su lista contienen a $N$ . Si Carla lo desea, puede repetir lo mismo con una segunda lista, y luego con una tercera, pero no se permiten más de $3$ . ¿Cuál es el menor número total de subconjuntos que le permiten a Carla hallar $N$ con seguridad?

3 Dado un triángulo equilátero $\Delta ABC$ , con $X\in[A,B]$ . Entonces definimos puntos únicos Y,Z tales que $Y\in[B,C]$ , $Z\in[A,C]$ , $\Delta XYZ$ equilátero. Si $Area\left(\Delta ABC\right) = 2 \cdot Area\left(\Delta XYZ\right)$ , halle la razón $\frac{AX}{XB},\frac{BY}{YC},\frac{CZ}{ZA}$ .

3 Sean $L_1, L_2, L_3, L_4$ cuatro rectas en el espacio tales que no hay tres de ellas en el mismo plano. Suponga que $L_1, L_2$ se cortan en $A$ , que $L_2,L_3$ se cortan en $B$ y que $L_3, L_4$ se cortan en $C.$ Halle el número mínimo y el número máximo de rectas en el espacio que cortan a $L_1, L_2, L_3$ y $L_4.$ Justifique su respuesta. Amir

5 Halle el menor entero positivo tal que la suma de sus dígitos sea $2011$ y el producto de sus dígitos sea una potencia de $6$ .

5 Un conjunto $\{a, b, c, d\}$ de cuatro elementos de enteros positivos se llama bueno si hay dos de ellos tales que su producto es un múltiplo del máximo común divisor de los otros dos. Por ejemplo, el conjunto $\{2, 4, 6, 8\}$ es bueno, ya que el máximo común divisor de $2$ y $6$ es $2$ , y divide a $4\times 8=32$ . Encuentre el mayor valor posible de $n$ tal que todo conjunto de cuatro elementos cuyos elementos sean menores o iguales que $n$ sea bueno. Propuesto por Victor e Isaías de la Fuente

2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta $BI$ corta a $AC$ en $D$. Sea $P$ un punto sobre $CI$ tal que $DI=DP$ ($P\ne I$), $E$ el segundo punto de intersección del segmento $BC$ con la circunferencia circunscrita de $ABD$ y $Q$ el segundo punto de intersección de la recta $EP$ con la circunferencia circunscrita de $AEC$. Demuestre que $\angle PDQ=90^\circ$. Propuesto por Ariel García

1 Exprese la suma de $99$ términos $$\frac{1\cdot 4}{2\cdot 5}+\frac{2\cdot 7}{5\cdot 8}+\ldots +\frac{k(3k+1 )}{(3k-1)(3k+2)}+\ldots +\frac{99\cdot 298}{296\cdot 299}$$ como una fracción irreducible.