4 Sea $p > 10$ primo. Demuestre que existen enteros positivos $m$ y $n$ con $m + n < p$ para los cuales $p$ es un divisor de $5^m7^n-1$ .

1 En el triángulo acutángulo $ABC, I$ es el centro de la circunferencia inscrita y se cumple $| AC | + | AI | = | BC |$ . Demuestre que $\angle BAC = 2 \angle ABC$ .

2 Determine todos los polinomios $P (x)$ con coeficientes reales que satisfacen $P (x^2) + 2P (x) = P (x)^2 + 2$ .

3 Para un entero positivo $n$ , consideramos un tablero de $n \times n$ y fichas con dimensiones $1 \times 1, 1 \times 2, ..., 1 \times n$ . ¿De cuántas maneras exactamente se pueden colorear de rojo $\frac12 n (n + 1)$ casillas del tablero, de modo que las casillas rojas puedan cubrirse todas colocando las $n$ fichas todas horizontalmente, pero también colocando todas las $n$ fichas verticalmente? Dos coloraciones que no son idénticas, pero que se transforman una en la otra por rotación o reflexión del tablero, se consideran diferentes.

4 Sean $a, b \ge 2$ enteros positivos con $gcd (a, b) = 1$ . Sea $r$ el menor valor positivo que puede tomar $\frac{a}{b}- \frac{c}{d}$ , donde $c$ y $d$ son enteros positivos que satisfacen $c \le a$ y $d \le b$ . Demuestre que $\frac{1}{r}$ es un entero.

1 Se dan números reales $a_1, a_2,..., a_{2020}$ , no necesariamente distintos. Para todo $n \ge 2020$ , defina $a_{n + 1}$ como la menor raíz real del polinomio $$P_n (x) = x^{2n} + a_1x^{2n - 2} + a_2x^{2n - 4} +... + a_{n -1}x^2 + a_n$$ , si existe. Suponga que $a_{n + 1}$ existe para todo $n \ge 2020$ . Demuestre que $a_{n + 1} \le a_n$ para todo $n \ge 2021$ .

2 Ward y Gabrielle juegan un juego sobre una hoja grande de papel. Al comienzo del juego, hay $999$ unos en la hoja de papel. Ward y Gabrielle se turnan alternadamente, y Ward tiene el primer turno. Durante su turno, un jugador debe escoger dos números a y b de la hoja tales que $gcd(a, b) = 1$ , borrar estos números de la hoja y escribir el número $a + b$ en la hoja. El primer jugador que no pueda hacerlo, pierde. Determine qué jugador puede ganar siempre este juego.

3 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales $a + b = \phi (a) + \phi (b) + gcd (a, b)$ . Aquí $ \phi (n)$ es el número de números $k$ de $\{1, 2,. . . , n\}$ con $gcd (n, k) = 1$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $P$ la intersección de las tangentes en $B$ y $C$ a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ . La recta por $A$ perpendicular a $AB$ corta a la recta por $C$ perpendicular a $AC$ en $X$ . La recta por $A$ perpendicular a $AC$ corta a la recta por $B$ perpendicular a $AB$ en $Y$ . Muestre que $AP \perp XY$ .

1 Para un número positivo $n$ , escribimos $d (n)$ para el número de divisores positivos de $n$ . Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $a$ y $b$ con la propiedad $k = d (a) = d (b) = d (2a + 3b)$ .