Sea $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una función arbitraria. Demuestre que existen dos enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen $f(x+y) \le f(2x+f(y))$ . (Propuesto por David Anghel, Rumania)

4 Sea $ p>2 $ un número primo. Para cualquier permutación $ \pi = ( \pi(1) , \pi(2) , \cdots , \pi(p) ) $ del conjunto $ S = \{ 1, 2, \cdots , p \} $, sea $ f( \pi ) $ el número de múltiplos de $ p $ entre los siguientes $ p $ números: \[ \pi(1) , \pi(1) + \pi(2) , \cdots , \pi(1) + \pi(2) + \cdots + \pi(p) \] Determina el valor promedio de $ f( \pi) $ sobre todas las permutaciones $ \pi $ de $ S $.

2 Encuentra todas las listas $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ de números reales no negativos tales que se satisfacen las siguientes tres condiciones: $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2020}$ ; $x_{2020} \le x_1 + 1$ ; existe una permutación $(y_1, y_2, \ldots, y_{2020})$ de $(x_1, x_2, \ldots, x_{2020})$ tal que $$\sum_{i = 1}^{2020} ((x_i + 1)(y_i + 1))^2 = 8 \sum_{i = 1}^{2020} x_i^3.$$ Una permutación de una lista es una lista de la misma longitud, con las mismas entradas, pero las entradas pueden estar en cualquier orden. Por ejemplo, $(2, 1, 2)$ es una permutación de $(1, 2, 2)$ , y ambas son permutaciones de $(2, 2, 1)$ . Nota que cualquier lista es una permutación de sí misma.

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A = \angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$, y las bisectrices (interiores) de los ángulos $\angle A, ~\angle C,$ y $\angle E$ son concurrentes. Demuestra que las bisectrices (interiores) de los ángulos $\angle B, ~\angle D,$ y $\angle F$ también deben ser concurrentes. Nota que $\angle A = \angle FAB$. Los demás ángulos interiores del hexágono se describen de manera similar.

4 Una permutación de los enteros $1, 2, \ldots, m$ se llama fresca si no existe un entero positivo $k < m$ tal que los primeros $k$ números de la permutación sean $1, 2, \ldots, k$ en algún orden. Sea $f_m$ el número de permutaciones frescas de los enteros $1, 2, \ldots, m$. Demuestra que $f_n \ge n \cdot f_{n - 1}$ para todo $n \ge 3$. Por ejemplo, si $m = 4$, entonces la permutación $(3, 1, 4, 2)$ es fresca, mientras que la permutación $(2, 3, 1, 4)$ no lo es.

Considera el triángulo \(ABC\) con \(\angle BCA > 90^{\circ}\). La circunferencia circunscrita \(\Gamma\) de \(ABC\) tiene radio \(R\). Hay un punto \(P\) en el interior del segmento \(AB\) tal que \(PB = PC\) y la longitud de \(PA\) es \(R\). La mediatriz de \(PB\) corta a \(\Gamma\) en los puntos \(D\) y \(E\). Demuestra que \(P\) es el incentro del triángulo \(CDE\).

6 Sea $m > 1$ un entero. Una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ está definida por $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 4$, y para todo $n \ge 4$, $$a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.$$ Determina todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado.

4 Un rectángulo $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB = m$, $AD = n$, con $m$ y $n$ primos relativos y ambos impares. Se divide en cuadrados unitarios y la diagonal $AC$ interseca los lados de los cuadrados unitarios en los puntos $A_1 = A, A_2, A_3, \ldots , A_k = C$. Demuestra que \[ A_1A_2 - A_2A_3 + A_3A_4 - \cdots + A_{k-1}A_k = {\sqrt{m^2+n^2}\over mn}. \]

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sea la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ que corta a la recta $BC$ en $D$. La perpendicular a $BC$ en $B$ corta a la mediatriz de $AB$ en $E$. La perpendicular a $BC$ en $C$ corta a la mediatriz de $AC$ en $F$. Demuestra que los puntos $D$, $E$ y $F$ son colineales. Valentin Vornicu Valentin

1 ¿Se pueden encontrar 4004 enteros positivos tales que la suma de cualesquiera 2003 de ellos no sea divisible por 2003? Valentin