8 Para enteros positivos $ n$, $ f_n = \lfloor2^n\sqrt {2008}\rfloor + \lfloor2^n\sqrt {2009}\rfloor$ . Demuestre que hay infinitos números impares e infinitos números pares en la sucesión $ f_1,f_2,\ldots$ .

6 Sea $ (x_1,x_2,\cdots)$ una sucesión de números positivos tal que $ (8x_2 - 7x_1)x_1^7 = 8$ y \[ x_{k + 1}x_{k - 1} - x_k^2 = \frac {x_{k - 1}^8 - x_k^8}{x_k^7x_{k - 1}^7} \text{ for }k = 2,3,\ldots\] Determine el número real $ a$ tal que si $ x_1 > a$, entonces la sucesión es monótonamente decreciente, y si $ 0 < x_1 < a$, entonces la sucesión no es monótona.

2 Sea $ \varphi(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ un polinomio con coeficientes reales. Dado que $ \varphi(x)$ tiene tres raíces reales positivas y que $ \varphi(0) < 0$, demuestre que \[ 2b^3 + 9a^2d - 7abc \leq 0.\]

4 Los triángulos equiláteros $ ABQ$, $ BCR$, $ CDS$, $ DAP$ se erigen en el exterior del cuadrilátero convexo $ ABCD$. Sean $ X$, $ Y$, $ Z$, $ W$ los puntos medios de los segmentos $ PQ$, $ QR$, $ RS$, $ SP$, respectivamente. Determine el máximo valor de \[ \frac {XZ+YW}{AC + BD}.\]

3 Determine el menor número real $ a$ mayor que $ 1$ tal que para cualquier punto $ P$ en el interior del cuadrado $ ABCD$, la razón de áreas entre dos de los triángulos $ PAB$, $ PBC$, $ PCD$, $ PDA$ está en el intervalo $ \left[\frac {1}{a},a\right]$ .

1 (a) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,96\}$ puede ser particionado en 32 conjuntos del mismo tamaño y de igual suma. (b) Determine si el conjunto $ \{1,2,\ldots,99\}$ puede ser particionado en 33 conjuntos del mismo tamaño y de igual suma.

4 El conjunto $ S$ consta de $ n > 2$ puntos en el plano. El conjunto $ P$ consta de $ m$ rectas en el plano tales que cada recta en $ P$ es un eje de simetría para $ S$. Demuestre que $ m\leq n$, y determine cuándo se cumple la igualdad.

5 El punto $D$ está dentro del triángulo $ABC$ tal que $\angle DAC = \angle DCA = 30^{\circ}$ y $\angle DBA = 60^{\circ}$. El punto $E$ es el punto medio del segmento $BC$. El punto $F$ está en el segmento $AC$ con $AF = 2FC$. Demuestre que $DE \perp EF$.

6 Para $ a,b,c\geq 0$ con $ a+b+c=1$, demuestre que $ \sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$

1 Sea $k$ uno de los enteros $2, 3,4$ y sea $n = 2^k -1$ . Demuestre la desigualdad \[1+ b^k + b^{2k} + \cdots+ b^{nk} \geq (1 + b^n)^k\] para todo real $b \geq 0.$ Amir