A4 Una operación de bypass en un conjunto $S$ es una función $B: S\times S \rightarrow S$ con la propiedad de que $B(B(w, x), B(y,z)) = B(w,z)$ para todos $w, x, y, z \in S$ . (a) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(c,c)=c$ cuando $B$ es un bypass. (b) Demuestra que $B(a,b)=c$ implica $B(a,x)=B(c,x)$ para todo $x\in S$ cuando $B$ es un bypass. (c) Construye una operación de bypass $B$ en un conjunto finito $S$ con las siguientes tres propiedades: $B(x,x)=x$ para todo $x\in S$ . Existen $d$ y $e$ en $S$ con $B(d,e)=d \ne e.$ Existen $f$ y $g$ en $S$ con $B(f,g)\ne f.$

A5 Sea $0 < x_i < \pi$ para $i=1,2,\ldots, n$ y define $$x= \frac{ x_1 +x_2 + \ldots+ x_n }{n}.$$ Demuestra que $$ \prod_{i=1}^{n} \frac{ \sin x_i }{x_i } \leq \left( \frac{ \sin x}{x}\right)^{n}.$$

59. Determina el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$.

Dado el entero \( n > 1 \) y el número real \( a > 0 \), determina el máximo de \(\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}\) tomado sobre todos los números no negativos \(x_i\) con suma \(a.\) Amir

61 Hay dos sucesiones no decrecientes $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$. Para una función convexa $f$ definida sobre los números reales, demuestra que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$.

62 $T$ es un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considera una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo esté estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ está sobre el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ está dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestra que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

63 Sea la sucesión $\{a_i\}$ de $n$ reales positivos las longitudes de los lados de un $n$-ágono arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$. Demuestra que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$.

Desde un punto \(P\) sobre el arco \(BC\) de la circunferencia circunscrita al triángulo \(ABC\), se trazan \(PX\) perpendicular a \(BC\), \(PY\) perpendicular a \(AC\), y \(PZ\) perpendicular a \(AB\) (todas prolongadas si es necesario). Demuestra que \[ \frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}. \]

Dado una función \(f\) tal que \(f(x)\le x\ \forall x\in\mathbb{R}\) y \(f(x+y)\le f(x)+f(y)\ \forall \{x,y\}\in\mathbb{R}\), demuestra que \(f(x)=x\ \forall x\in\mathbb{R}\).

66 Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir