4 Dados los enteros positivos \(a,b,\) encuentra el menor entero positivo \(m\) tal que entre cualesquiera \(m\) enteros distintos en el intervalo \([-a,b]\) haya tres números distintos por pares cuya suma sea cero. Propuesto por Marian Tetiva, Rumania.

3 $Abdulqodir$ recortó $2024$ $n$-ágonos regulares congruentes de una hoja de papel y colocó estos $n$-ágonos sobre la mesa de modo que algunas partes de cada uno de estos $n$-ágonos puedan quedar cubiertas por otros. Decimos que un vértice de uno de los $n$-ágonos mencionados es $visible$ si no está en el interior de otro $n$-ágono que esté colocado encima de él. Para cualquier $n>2$, determina el número mínimo posible de vértices visibles. Propuesto por David Hrushka, Eslovaquia

5 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Z^+} \to \mathbb{Z^+} \) tales que para todos los enteros \( a, b, c \) se cumple $$ af(bc)+bf(ac)+cf(ab)=(a+b+c)f(ab+bc+ac). $$ Nota. El conjunto \( \mathbb{Z^+} \) se refiere al conjunto de los enteros positivos. Propuesto por Mojtaba Zare, Irán

2 Considera sucesiones enteras crecientes con elementos de $1,\ldots,10^6$. Tal sucesión es Adriática si su primer elemento es igual a 1 y si cada elemento es al menos el doble del anterior. Una sucesión es Tirrena si su último elemento es igual a $10^6$ y si cada elemento es estrictamente mayor que la suma de todos los elementos anteriores. Decide si el número de sucesiones Adriáticas es menor, igual o mayor que el número de sucesiones Tirrenas. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$ (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Sea $S = \{1,..., 999\}$. Determina el entero más pequeño $m$ para el cual existen $m$ tarjetas de dos caras $C_1$, ..., $C_m$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ Cada tarjeta $C_i$ tiene un entero de $S$ en una cara y otro entero de $S$ en la otra cara. $\bullet$ Para todos $x,y \in S$ con $x\ne y$, es posible seleccionar una tarjeta $C_i$ que muestre $x$ en una de sus caras y otra tarjeta $C_j$ (con $i \ne j$) que muestre $y$ en una de sus caras.

2 (a) Decide si existen dos dígitos decimales $a$ y $b$, tales que todo entero con representación decimal $ab222 ... 231$ sea divisible por $73$. (b) Decide si existen dos dígitos decimales $c$ y $d$, tales que todo entero con representación decimal $cd222... 231$ sea divisible por $79$.

3 Sean $a, b, c, d$ cuatro números reales positivos. Demuestra que $$\frac{(a + b + c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(b + c + d)^3}{b^3+c^3+d^3}+\frac{(c+d+a)^4}{c^4+d^4+a^4}+\frac{(d+a+b)^5}{d^5+a^5+b^5}\le 120$$

3 Sea $ABC$ un triángulo equiángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea el punto $F\in AB$ y el punto $E\in AC$ tales que $\angle ABE+\angle ACF=60^{\circ}$. La circunferencia del triángulo $AFE$ interseca a la circunferencia $\omega$ en el punto $D$. Las semirrectas $DE$ y $DF$ intersecan la recta que pasa por $B$ y $C$ en los puntos $X$ y $Y$. Demuestra que el incentro del triángulo $DXY$ es independiente de la elección de $E$ y $F$. (Los ángulos en el enunciado del problema no están dirigidos. Se asume que $E$ y $F$ se eligen de tal manera que las semirrectas $DE$ y $DF$ efectivamente intersecan la recta que pasa por $B$ y $C$.)

1 Para un número real $\alpha>0$, considera la sucesión real infinita definida por $x_1=1$ y \[ \alpha x_n = x_1+x_2+\cdots+x_{n+1} \mbox{\qquad para } n\ge1. \] Determina el menor $\alpha$ para el cual todos los términos de esta sucesión son reales positivos. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)