5 Nickolas y Peter se reparten $2n+1$ nueces entre ellos. Ambos quieren obtener tantas como sea posible. Se les sugieren tres métodos para hacerlo, cada uno de los cuales consta de tres etapas. Las dos primeras etapas son las mismas en los tres métodos: Etapa 1: Peter divide las nueces en 2 montones, cada uno con al menos 2 nueces. Etapa 2: Nickolas divide ambos montones en 2 montones, cada uno con al menos 1 nuez. Finalmente, la etapa 3 varía entre los tres métodos de la siguiente manera: Método 1: Nickolas toma los montones más pequeño y más grande. Método 2: Nickolas toma los dos montones de tamaño mediano. Método 3: Nickolas elige entre tomar el montón más grande y el más pequeño o los dos montones de tamaño mediano, pero le da una nuez a Peter por el derecho de elección. Determine el método más y el menos provechoso para Nickolas.

4 Se dan enteros arbitrarios $a,b,p$ . Demuestre que siempre existen enteros primos relativos $k$ y $\ell$ tales que $ak+b\ell$ es divisible por $p$ .

3 Considérense $n$ puntos, algunos de ellos conectados por segmentos. Estos segmentos no se intersecan entre sí. Se puede llegar desde cualquier punto a cualquier otro de exactamente una manera viajando a lo largo de los segmentos. Demuestre que el número total de segmentos es $n-1$ .

1 Sea $L$ el punto medio del arco menor $AC$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Un punto $P$ es la proyección de $B$ sobre la tangente a la circunferencia circunscrita en $L$ . Demuestre que $P$ , $L$ y los puntos medios de los lados $AB$ , $BC$ son concíclicos.

2 Considérese una tabla con un número real en cada celda. En un paso, se puede cambiar el signo de los números de una fila o de una columna simultáneamente. Demuestre que se puede obtener una tabla con sumas no negativas en cada fila y en cada columna.

2 Cada uno de los enteros del $1$ al $20$ se coloca en los puntos de la figura de abajo. Dos puntos son adyacentes si la figura de abajo contiene un segmento de recta que los conecta. Demuestre que, comoquiera que se dispongan los números, es posible encontrar un par adyacente tal que la diferencia entre los números escritos en ellos sea mayor que $3$ . [asy] real u=0.25cm; for(int i = 0; i < 4; ++i) { real v = u*(i+1); pair P1 = dir(90+0*72)*(0,v); pair P2 = dir(90+1*72)*(0,v); pair P3 = dir(90+2*72)*(0,v); pair P4 = dir(90+3*72)*(0,v); pair P5 = dir(90+4*72)*(0,v); dot(P1);dot(P2); dot(P3);dot(P4);dot(P5); path p = P1--P2--P3--P4--P5--cycle; draw(p); } [/asy]

1 Los puntos $A$ y $B$ se mueven sobre círculos con centros en $O_A$ y $O_B$ de modo que $O_AA$ y $O_BB$ rotan a la misma velocidad. Demuestre que el vértice $C$ del triángulo equilátero $ABC$ se mueve a lo largo de cierto círculo con la misma velocidad angular. (Los vértices de $ABC$ están orientados en el sentido de las agujas del reloj.)

5 Considérese una cuarteta de números positivos $(a,b,c,d)$ . En un paso, la transformamos en $(ab,bc,cd,da)$ . Demuestre que nunca se puede obtener el conjunto inicial si ninguno de $a,b,c,d$ es $1$ .

Zou y Chou están practicando sus carreras de 100 metros corriendo $6$ carreras uno contra el otro. Zou gana la primera carrera, y después de eso, la probabilidad de que uno de ellos gane una carrera es $\frac23$ si ganó la carrera anterior, pero solo $\frac13$ si perdió la carrera anterior. La probabilidad de que Zou gane exactamente $5$ de las $6$ carreras es $\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

7 Seyed tiene 998 monedas blancas, una moneda roja y una moneda inusual con un lado rojo y un lado blanco. No puede ver el color de las monedas; en cambio, tiene un escáner que verifica si todos los lados de las monedas que tocan el vidrio del escáner son blancos. ¿Existe algún algoritmo para encontrar la moneda roja usando el escáner como máximo 17 veces? Propuesto por Seyed Reza Hosseini