5 Un juego de solitario comienza con $25$ cartas en una fila. Algunas están boca arriba y otras boca abajo. En cada movimiento debes elegir una carta boca arriba, retirarla y voltear las cartas vecinas de la carta retirada. El juego se gana cuando, repitiendo este movimiento, se retiran las $25$ cartas de la mesa. Si inicialmente hay $n$ cartas boca arriba, encuentra todos los valores de $n$ para los cuales se puede ganar el juego. Explica cómo se puede ganar independientemente de las posiciones iniciales de las cartas boca arriba, y justifica por qué es imposible ganar para los otros valores de $n$. Nota: Dos cartas son vecinas cuando están inmediatamente una al lado de la otra (a la izquierda o a la derecha). Por ejemplo, la carta marcada con A tiene dos vecinas y la carta marcada con B tiene solo una. Después de retirar una carta, queda un hueco, así que la carta marcada con C tiene solo una vecina, y la carta marcada con D no tiene ninguna. [asy] size(200); // Función para dibujar una carta con etiqueta opcional void drawCard(pair pos, string label="") { draw(pos + (-0.5,0) -- pos + (0.5,0) -- pos + (0.5,1) -- pos + (-0.5,1) -- cycle); if(label != "") { label(label, pos + (0,0.5), fontsize(16)); } } // Posiciones para 5 cartas pair[] positions = { (0,0), (1.5,0), (3,0), (4.5,0), (8,0) }; // Dibuja las cartas con etiquetas drawCard(positions[0], "B"); drawCard(positions[1], "A"); drawCard(positions[2]); // carta vacía drawCard(positions[3], "C"); drawCard(positions[4], "D"); [/asy]

1 A cada número natural de dos cifras se le asigna un dígito de la siguiente manera: se multiplican sus cifras. Si el resultado es un dígito, ese es el dígito asignado. Si el resultado es un número de dos cifras, se multiplican esas dos cifras, y si el resultado es un dígito, ese es el dígito asignado. En caso contrario, se repite la operación. Por ejemplo, el dígito asignado a $32$ es $6$ ya que $3 \times 2 = 6$; el dígito asignado a $93$ es $4$ ya que $9 \times 3 = 27$, $2 \times 7 = 14$, $1 \times 4 = 4$. Encuentra todos los números de dos cifras a los que se les asigna $8$.

2 Una hoja de papel rectangular (blanca de un lado y gris del otro) se dobló tres veces, como se muestra en la figura: El rectángulo $1$, que era blanco después del primer doblez, tiene $20$ cm más de perímetro que el rectángulo $2$, que era blanco después del segundo doblez, y este a su vez tiene $16$ cm más de perímetro que el rectángulo $3$, que era blanco después del tercer doblez. Determina el área de la hoja. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/f/8e363b40654ad0d8e100eac38319ee3784a7a7.png

4# Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que $$ \frac{1}{x_1^2}+\frac{2}{x_2^2}+\frac{2^2}{x_3^2}+\cdots +\frac{2^{n-1}}{x_n^2}=1.$$

Llamamos contagioso a un entero positivo $N$ si existen $1000$ enteros no negativos consecutivos tales que la suma de todos sus dígitos sea $N$. Encuentra todos los enteros positivos contagiosos.

1# Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determina todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ y $g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tales que $g$ toma infinitos valores y tales que $$ f^{g(n)}(n)=f(n)+k$$ se cumple para todo entero positivo $n$ . ( Observación. Aquí, $f^{i}$ denota la función $f$ aplicada $i$ veces, es decir $f^{i}(j)=f(f(\dots f(j)\dots ))$ . )

2 Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunas casillas de un tablero de $m \times n$ se colorean de rojo. Una secuencia $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ casillas rojas distintas dos a dos se llama circuito de alfil si para cada $k \in \{1, \ldots , 2r\}$, las casillas $a_k$ y $a_{k+1}$ están en una misma diagonal, pero las casillas $a_k$ y $a_{k+2}$ no están en una misma diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$). En términos de $m$ y $n$, determina el número máximo posible de casillas rojas en un tablero de $m \times n$ sin circuito de alfil. (Observación. Dos casillas están en una misma diagonal si la recta que pasa por sus centros corta los lados del tablero con un ángulo de $45^\circ$.)

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto interior del segmento $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el semiplano determinado por la recta $BC$ que contiene a $A$, de modo que $DE$ es perpendicular a $BE$ y $DE$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ACD$, mientras que $DF$ es perpendicular a $CF$ y $DF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABD$. Demuestra que los puntos $A, D, E$ y $F$ son concíclicos.

4 Sea $n \ge 3$ un entero. La ardilla Zagi se sienta en un vértice de un $n$-ágono regular. Zagi planea hacer un recorrido de $n-1$ saltos tal que en el $i$-ésimo salto, salta $i$ aristas en sentido horario, para $i \in \{1, \ldots,n-1\}$. Demuestra que si después de $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil$ saltos Zagi ha visitado $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil+1$ vértices distintos, entonces después de $n-1$ saltos Zagi habrá visitado todos los vértices. (Observación. Para un número real $x$, denotamos por $\lceil x \rceil$ el entero más pequeño mayor o igual a $x$.)

1 Determina todos los números reales \(A\) tales que toda sucesión de números reales no nulos \(x_1, x_2, \ldots\) que satisface \[ x_{n+1}=A-\frac{1}{x_n} \] para todo entero \(n \ge 1\), tiene solo un número finito de términos negativos.