2 Determine la suma de los valores absolutos de las raíces complejas de $ 20 x^8 + 7i x^7 -7ix + 20.$

3 Sea $ ABC$ un triángulo y $ P$ un punto arbitrario en el plano. Sean $ \alpha, \beta, \gamma$ los ángulos interiores del triángulo y su área se denota por $ F.$ Demuestre: $$ AP^2 \cdot \sin 2\alpha + BP^2 \cdot \sin 2\beta + CP^2 \cdot \sin 2\gamma \geq 2F$$ ¿Cuándo ocurre la igualdad? Click to reveal hidden text latex fixed

2 Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos sobre una recta. Para cada polígono convexo $ P$ cuyos vértices están en $ S$ , sea $ a(P)$ el número de vértices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el número de puntos de $ S$ que están fuera de $ P$ . Un segmento, un punto y el conjunto vacío se consideran polígonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ vértices, respectivamente. Demuestre que para todo número real $ x$ \[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\] donde la suma se toma sobre todos los polígonos convexos con vértices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamará redondo si sus elementos son el conjunto de vértices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el número de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus polígonos correspondientes son el conjunto vacío, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los demás puntos que no son vértices del polígono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio \[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}. \] Demuestre que la suma de los polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$ Propuesto por Federico Ardila, Colombia

3 En el triángulo $ ABC$ tenemos $ a \geq b$ y $ a \geq c.$ Demuestre que la razón entre el radio de la circunferencia circunscrita y el diámetro de la circunferencia inscrita es al menos tan grande como la razón entre la longitud del eje central $ s_a$ y la altura $ a_a.$ ¿Cuándo tenemos la igualdad?

1 Demuestre la desigualdad: \[\sum_{i < j}{\frac {a_{i}a_{j}}{a_{i} + a_{j}}}\leq \frac {n}{2(a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n})}\cdot \sum_{i < j}{a_{i}a_{j}}\] para reales positivos $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ . Propuesto por Dusan Dukic, Serbia

2 Un torneo $ (n, k) -$ es una competencia con $ n$ jugadores realizada en $ k$ rondas tal que: $ (i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $ (ii)$ Si el jugador $ A$ se enfrenta al jugador $ B$ en la ronda $ i$ , el jugador $ C$ se enfrenta al jugador $ D$ en la ronda $ i$ , y el jugador $ A$ se enfrenta al jugador $ C$ en la ronda $ j$ , entonces el jugador $ B$ se enfrenta al jugador $ D$ en la ronda $ j$ . Determine todos los pares $ (n, k)$ para los cuales existe un torneo $ (n, k) -$ . Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

3 Para todo entero positivo $n$ , demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $2^{m} + m$ . Propuesto por Juhan Aru, Estonia

1 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ seis puntos sobre una circunferencia tales que $AE\parallel BD$ y $BC\parallel DF$ . Sea $X$ el reflejo del punto $D$ respecto de la recta $CE$ . Demuestre que la distancia del punto $X$ a la recta $EF$ es igual a la distancia del punto $B$ a la recta $AC$ .

2 En una habitación hay $2005$ cajas, cada una de las cuales contiene una o varias clases de frutas y, por supuesto, una cantidad entera de cada fruta. a) Demuestre que podemos encontrar $669$ cajas que en total contengan al menos un tercio de todas las manzanas y al menos un tercio de todos los plátanos. b) ¿Podemos encontrar siempre $669$ cajas que en total contengan al menos un tercio de todas las manzanas, al menos un tercio de todos los plátanos y al menos un tercio de todas las peras?

3 ¿Es verdadera la siguiente afirmación? Para cada entero positivo $n$ , podemos encontrar ocho enteros no negativos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ , $g$ , $h$ tales que $n=\frac{2^a-2^b}{2^c-2^d}\cdot\frac{2^e-2^f}{2^g-2^h}$ .