Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1 + 2 + \dots + n$ círculos dispuestos en forma de triángulo equilátero tal que para cada $i = 1$, $2$, $\dots$, $n$, la fila $i$-ésima contiene exactamente $i$ círculos, exactamente uno de los cuales está coloreado de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una secuencia de $n$ círculos que se obtiene comenzando en la fila superior, luego bajando repetidamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él y terminando en la fila inferior. Aquí hay un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$, junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos. [asy] // crédito a vEnhance por el diagrama (que era mejor que mi asy original): size(4cm); pair X = dir(240); pair Y = dir(0); path c = scale(0.5)*unitcircle; int[] t = {0,0,2,2,3,0}; for (int i=0; i<=5; ++i) { for (int j=0; j<=i; ++j) { filldraw(shift(i*X+j*Y)*c, (t[i]==j) ? lightred : white); draw(shift(i*X+j*Y)*c); } } draw((0,0)--(X+Y)--(2*X+Y)--(3*X+2*Y)--(4*X+2*Y)--(5*X+2*Y),linewidth(1.5)); path q = (3,-3sqrt(3))--(-3,-3sqrt(3)); draw(q,Arrows(TeXHead, 1)); label("$n = 6$", q, S); label("$n = 6$", q, S); [/asy] En términos de $n$, encuentra el mayor $k$ tal que en cada triángulo japonés exista un camino ninja que contenga al menos $k$ círculos rojos.

1 Sean $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ dos triángulos. Demuestre que $\frac{a}{a_{1}}+\frac{b}{b_{1}}+\frac{c}{c_{1}}\leq\frac{3R}{2r_{1}}$ , donde $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ son las longitudes de los lados del triángulo $ABC$ , donde $a_{1}=B_{1}C_{1}$ , $b_{1}=C_{1}A_{1}$ , $c_{1}=A_{1}B_{1}$ son las longitudes de los lados del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ , donde $R$ es el circunradio del triángulo $ABC$ y $r_{1}$ es el inradio del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ .

2015.5 En el trapecio $[ABCD]$, los lados $[AB]$ y $[CD]$ son paralelos y tenemos $AB = 33$, $BC = 14$, $CD = 21$ y $DA = 10$. Determina $AC$.

2015.3 Sea $[ABC]$ un triángulo y $D$ un punto entre $A$ y $B$. Si los triángulos $[ABC]$, $[ACD]$ y $[BCD]$ son todos isósceles, ¿cuáles son los posibles valores de $\angle ABC$?

2014.6 La bandera de la Isla Esmeralda, ilustrada en la figura, tiene la peculiaridad de ser cuadrada. La isla está representada en verde, en la intersección de dos triángulos equiláteros, que representan el cielo y el mar. ¿Cuál es el área de la tela verde en una bandera de $12$ m $^2$? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/3/1/9f65c2646074a8918e78e5bf61491ef8bd9dee.png

B6 Dada una lista ordenada de $3N$ números reales, podemos recortarla para formar una lista de $N$ números de la siguiente manera: dividimos la lista en $N$ grupos de $3$ números consecutivos, y dentro de cada grupo descartamos el mayor y el menor, quedándonos solo con la mediana. Considera generar un número aleatorio $X$ mediante el siguiente procedimiento: comienza con una lista de $3^{2021}$ números, elegidos de manera independiente y uniformemente al azar entre $0$ y $1$. Luego recorta esta lista como se definió arriba, dejando una lista de $3^{2020}$ números. Después recorta de nuevo repetidamente hasta que solo quede un número; sea $X$ ese número. Sea $\mu$ el valor esperado de $\left|X-\frac{1}{2} \right|$. Demuestra que \[ \mu \ge \frac{1}{4}\left(\frac{2}{3} \right)^{2021}. \]

3 Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD, BE, CF$ y ortocentro $H$. La mediatriz de $HD$ corta a $EF$ en $P$ y $N$ es el centro de la circunferencia de los nueve puntos. Sea $L$ un punto en la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle PLN=90^{\circ}$ y $A, L$ están en lados distintos de la recta $PN$. Demuestra que $ANDL$ es cíclico.

3 En un triángulo arbitrario $ ABC$ sea $ E$ un punto sobre la altura trazada desde $ A$ . Demuestre que $ (AC)^2 - (CE)^2 = (AB)^2 - (EB)^2$ .

1 Sean $a,b,c$ enteros positivos tales que $a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c$ son $7$ primos distintos. La suma de dos de $a,b,c$ es $800$ . Si $d$ es la diferencia entre el mayor primo y el menor primo entre esos $7$ primos, halle el valor máximo de $d$ .

5 Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo y, para $1 \leq i \leq 3$, sea $B_i$ un punto interior del lado opuesto a $A_i$. Demuestra que las mediatrices de $A_iB_i$ para $1 \leq i \leq 3$ no son concurrentes.