1 Es sabido que las diagonales de un cuadrado, así como las de un pentágono regular, son todas iguales. Halle el mayor número natural $n$ tal que un $n$-ágono convexo tiene todas sus diagonales iguales.

2 Demuestre que la expresión $A=\frac{25}{2}(n+2-\sqrt{2n+3})$, $(n\in\mathbb{N})$, es un cuadrado perfecto de un entero si la expresión $A$ es un entero.

3 Demuestre que para todo número real $a$, la expresión $A=(a-1)(a-3)(a-4)(a-6)+10$ es siempre positiva. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar la expresión $A$ y para cuáles valores de $a$?

4 Considere un $100$-ágono convexo $A_1A_2...A_{100}$. Trace la diagonal $A_{43}A_{81}$ que lo divide en dos polígonos convexos $P_1,P_2$. ¿Cuántos vértices y cuántas diagonales tiene cada uno de los polígonos $P_1,P_2$?

1 Coloreamos todos los puntos de un plano usando $3$ colores. Demuestre que hay al menos dos puntos del plano que tienen el mismo color y cuya distancia entre ellos es $1$.

2 Si para la función $f$ se cumple que $$f(x)+f(x+1)+f(x+2)+...+f(x+1986)=0$$ para todo $\in\mathbb{R}$, demuestre que $f$ es periódica y halle un periodo de ella.

3 Resuelva, para valores reales del parámetro $a$, la desigualdad: $$\sqrt{a+x}+ \sqrt{a-x}>a , \ \ x\in\mathbb{R}$$

4 Sean $A,B$ dos puntos interiores al círculo $C(O,R)$ y $M$ un punto sobre el círculo. Sean $A_1,B_1$ las intersecciones del círculo con las rectas $MA$, $MB$ respectivamente. Sea $G$ el punto medio de $AB$ y $G_1= C\cap MG$. Demuestre que $$\frac{MA}{AA_1}+ \frac{MB}{BB_1}> 2\frac{MG}{GG_1}$$

1 a) Demuestre que todo subgrupo $(A,+)$ del grupo $(\mathbb{Z},+)$ es de la forma $A=n \cdot \mathbb{Z}$ para algún $n \in \mathbb{Z}$, donde $n \cdot \mathbb{Z}=\{n \cdot x/x\in\mathbb{Z}\}$. b) Usando el problema (a), demuestre que el máximo común divisor $d$ de los enteros no nulos $a_1, a_2,... ,a_n$ está dado por la relación $d=\lambda_1a_1+\lambda_2 a_2+...\lambda_n a_n$ con $\lambda_i\in\mathbb{Z}, \,\, i=1,2,...,n$.

2 Sea $A=(\alpha_{ij})$ una matriz $m\,x\,n$ y $B=(\beta_{kl})$ una matriz $n\,x\, m$ con $m>n$. Demuestre que $D(A\cdot B)=0$.