G8 Sea $ ABCDE $ un pentágono convexo tal que $ BC $ y $ DE $ son tangentes a la circunferencia circunscrita de $ ACD $ . Demuestre que si las circunferencias circunscritas de $ ABC $ y $ ADE $ se intersecan en el punto medio de $ CD $ , entonces las circunferencias circunscritas $ ABE $ y $ ACD $ son tangentes entre sí.

N1 Demuestre que existe una sucesión infinita de enteros positivos $ a_1, a_2, ... $ tal que para todo entero positivo $ i $ , i) $ a_{i + 1} $ es divisible por $ a_{i} $ . ii) $ a_i $ no es divisible por $ 3 $ . iii) $ a_i $ es divisible por $ 2^{i + 2} $ pero no por $ 2^{i + 3} $ . iv) $ 6a_i + 1 $ es una potencia de un primo. v) $ a_i $ puede escribirse como la suma de dos cuadrados perfectos.

N2 Sea $ \mathbb{A} \subset \mathbb{N} $ tal que todos los elementos de $ \mathbb{A} $ pueden representarse en la forma $ x^2+2y^2 $ , con $ x,y \in \mathbb{N} $ y $ x>y $ . Sea $ \mathbb{B} \subset \mathbb{N} $ tal que todos los elementos de $ \mathbb{B} $ pueden representarse en la forma $\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $ , con $ a,b,c \in \mathbb{N} $ y $ a,b,c $ distintos. a) Demuestre que $ \mathbb{A} \subset \mathbb{B} $ . b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ que satisfacen $ n \in \mathbb{B}$ y $ n \not \in \mathbb{A} $

N3 Dado un número natural $n\ge 3$ , determine todas las sucesiones estrictamente crecientes $a_1<a_2<\cdots<a_n$ tales que $\text{gcd}(a_1,a_2)=1$ y, para cualquier par de números naturales $(k,m)$ que satisfaga $n\ge m\ge 3$ , $m\ge k$ , $$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{a_k}$$ es un entero positivo.

N4 Determine todas las ternas de enteros no negativos $ (x,y,z) $ que satisfacen $$ 2^x3^y+1=7^z $$

N5 Sean $ a,b,c $ enteros positivos coprimos por pares. Halle todos los valores enteros positivos de $$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} $$

N6 Sea $ p_i $ el $ i $ -ésimo número primo. Sea $ n = \lfloor\alpha^{2015}\rfloor $ , donde $ \alpha $ es un número real positivo tal que $ 2 < \alpha < 2.7 $ . Demuestre que $$ \displaystyle\sum_{2 \le p_i \le p_j \le n}\frac{1}{p_ip_j} < 2017 $$

N7 Halle todas las funciones $ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{ N }_0 $ que satisfacen las siguientes condiciones: i) $ f(ab)=f(a)+f(b)-f(\gcd(a,b)), \forall a,b \in \mathbb{N} $ ii) Para todo primo $ p $ y todo número natural $ a $ , $ f(a)\ge f(ap) \Rightarrow f(a)+f(p) \ge f(a)f(p)+1 $

N8 Sea $p\ge 5$ un número primo y sea $n$ un número natural. Sea $f$ una función $ f: \mathbb{Z_{ \neq }}_0 \rightarrow \mathbb{ N }_0 $ que satisface las siguientes condiciones: i) Para toda sucesión de enteros que satisface $ a_i \not\in \{0, 1\} $ y $ p $ $\not |$ $ a_i-1 $ , $ \forall $ $ 1 \le i \le p-2 $ , $$ \displaystyle \sum^{p-2}_{i=1}f(a_i)=f(a_1a_2 \cdots a_{p-2}) $$ ii) Para todos los enteros coprimos $ a $ y $ b $ , $ a \equiv b \pmod p \Rightarrow f(a)=f(b) $ iii) Existe $k \in \mathbb{Z}_{\neq 0} $ que satisface $ f(k)=n $ Demuestre que el número de tales funciones es $ d(n) $ , donde $ d(n) $ denota el número de divisores de $ n $ .

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{BAC} > 90$ . Sea $D$ un punto del segmento $BC$ y $E$ un punto de la recta $AD$ tal que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ACD$ en $A$ y $BE$ es perpendicular a $AD$ . Dado que $CA=CD$ y $AE=CE$ . Determine $\angle{BCA}$ en grados.