2006 g2 Sea $ABC$ cualquier triángulo. Construya los triángulos equiláteros $BCD$ , $CAE$ y $ABF$ donde $D$ , $E$ y $F$ están en los semiplanos opuestos a $A$ , $B$ y $C$ con respecto a las rectas $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente. Sea $P$ un punto sobre la prolongación de $DA$ más allá de $A$ tal que $DA = AP$ . Demuestre que el triángulo $EFP$ es equilátero.

Sea $ABCD$ un cuadrado. $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $BE = BF$ . La recta perpendicular a $CE$ que pasa por $B$ interseca a $CE$ y a $AD$ en los puntos $G$ y $H$ , respectivamente. Las rectas $FH$ y $CE$ se intersecan en el punto $P$ y las rectas $GF$ y $CD$ se intersecan en el punto $Q$ . Demuestre que la recta $DP$ es perpendicular a la recta $BQ$ .

Demuestre que para cualquier polinomio $P$ con coeficientes reales, y para cualquier entero positivo $n$ , existe un polinomio $Q$ con coeficientes reales tal que $P(x)^2 +Q(x)^2$ es divisible por $(1+x^2)^n$ .

2 Si \[f(x) = (x + 2x^2 +\cdots+ nx^n)^2 = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots+ a_{2n}x^{2n},\] demuestre que \[a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} =\dbinom{n + 1}{2}\frac{5n^2 + 5n + 2}{12}\]

4 Denote por S el conjunto de todos los primos tales que la representación decimal de $\frac{1}{p}$ tiene el periodo fundamental divisible por 3. Para cada $p \in S$ tal que $\frac{1}{p}$ tiene el periodo fundamental $3r$ se puede escribir \[\frac{1}{p}=0,a_{1}a_{2}\ldots a_{3r}a_{1}a_{2} \ldots a_{3r} \ldots , \] donde $r=r(p)$ ; para cada $p \in S$ y cada entero $k \geq 1$ defina $f(k,p)$ por \[ f(k,p)= a_{k}+a_{k+r(p)}+a_{k+2.r(p)}\] a) Demuestre que $S$ es infinito. b) Halle el valor máximo de $f(k,p)$ para $k \geq 1$ y $p \in S$

2006 g3.6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$ , y $E$ , $H$ , $F$ y $G$ son puntos sobre $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$ . Si $M=EG \cap AC$ , $N=HF \cap AC$ , muestre que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

10 Dada la ecuación \[ 4x^3 + 4x^2y - 15xy^2 - 18y^3 - 12x^2 + 6xy + 36y^2 + 5x - 10y = 0,\] halle todas las soluciones enteras positivas.

2006 g4 Dada una circunferencia con centro $O$ y diámetro $AB$ . Sea $ P$ un punto sobre la circunferencia, construya la bisectriz del ángulo $\angle PAB$ que interseca la circunferencia en $Q$ . Sea $R$ el punto de intersección de la perpendicular desde $Q$ a $PA$ , $M$ el punto medio de $PQ$ y $S$ la intersección de $OQ$ con $RM$ . Determine el lugar geométrico del punto $S$ a medida que $ P$ se mueve a lo largo de la circunferencia.

1 Sea $S$ un conjunto finito con $n$ elementos. Dividimos $AS$ en $m$ partes disjuntas de modo que si $A$ , $B$ , $A \cup B$ están en la misma parte, entonces $A=B.$ Halle el valor mínimo de $m$ .

38 Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ , forman una retícula. Halle el número de: (a) rectángulos con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (b) cuadrados con vértices en la retícula y lados paralelos a los ejes de coordenadas; (c) cuadrados en total, con vértices en la retícula. Amir