3 Se eligen puntos $B = B_1 , B_2, \cdots , B_n , B_{n+1} = C$ sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ en ese orden. Sea $r_j$ el inradio del triángulo $AB_jB_{j+1}$ para $j = 1, \cdots, n$ , y sea $r$ el inradio de $\triangle ABC$ . Demuestre que existe una constante $\lambda$ independiente de $n$ tal que: \[(\lambda -r_1)(\lambda -r_2)\cdots (\lambda -r_n) =\lambda^{n-1}(\lambda -r)\]

1 Los números complejos $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ tienen la propiedad de que $\alpha^k +\beta^k +\gamma^k$ es un entero para todo número natural $k$ . Demuestre que el polinomio \[(x-\alpha)(x-\beta )(x-\gamma )\] tiene coeficientes enteros.

2 Sea $p > 3$ un primo. Para cada $k\in \{1,2, \ldots , p-1\}$ , defina $x_k$ como el único entero en $\{1, \ldots, p-1\}$ tal que $kx_k\equiv 1 \pmod{p}$ y ponga $kx_k = 1+ pn_k$ . Demuestre que: \[\sum_{k=1}^{p-1}kn_k \equiv \frac{p-1}{2} \pmod{p}\]

3 Cada vértice de una cuadrícula de $m\times n$ está coloreado de azul, verde o rojo de tal manera que todos los vértices del borde son rojos. Decimos que un cuadrado unitario de la cuadrícula está correctamente coloreado si: $(i)$ los tres colores aparecen en los vértices del cuadrado, y $(ii)$ un lado del cuadrado tiene sus extremos del mismo color. Demuestre que el número de cuadrados correctamente coloreados es par.

1 Sea $ABCD$ un rectángulo, y sea $\omega$ un arco circular que pasa por los puntos $A$ y $C$ . Sea $\omega_{1}$ el círculo tangente a las rectas $CD$ y $DA$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . Similarmente, sea $\omega_{2}$ el círculo tangente a las rectas $AB$ y $BC$ y al círculo $\omega$ , y que se encuentra completamente dentro del rectángulo $ABCD$ . Denote por $r_{1}$ y $r_{2}$ los radios de los círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ , respectivamente, y por $r$ el inradio del triángulo $ABC$ . (a) Demuestre que $r_{1}+r_{2}=2r$ . (b) Demuestre que una de las dos tangentes internas comunes de los círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ es paralela a la recta $AC$ y tiene longitud $\left|AB-AC\right|$ . Omid

2 Una sucesión estrictamente creciente $(a_n)$ tiene la propiedad de que $\gcd(a_m,a_n) = a_{\gcd(m,n)}$ para todos $m,n\in \mathbb{N}$ . Suponga que $k$ es el menor entero positivo para el cual existen enteros positivos $r < k < s$ tales que $a_k^2 = a_ra_s$ . Demuestre que $r | k$ y $k | s$ .

3 Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales y sea $a\geq 3$ . Demuestre que \[\max_{0\leq j \leq n+1}\left | a^j-P(j) \right |\geq 1\]

1 Dados un número primo $p{}$ y enteros $x{}$ e $y$ , halle el resto de la suma $x^0y^{p-1}+x^1y^{p-2}+\ldots+x^{p-2}y^1+x^{p-1}y^0$ al dividirla por $p{}$ .

2 Para cualquier número natural $n{}$ y entero positivo $k{}$ , decimos que $n{}$ es $k-good$ (bueno) si existen enteros no negativos $a_1,\ldots, a_k$ tales que $$n=a_1^2+a_2^4+a_3^8+\ldots+a_k^{2^k}.$$ ¿Existe un entero positivo $k{}$ para el cual todo número natural es $k-good$ (bueno)?

3 En el triángulo acutángulo $ABC$ , el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$ , y $P$ es un punto del segmento $AF$ . Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ están en los círculos $ABD$ y $ACE$ , respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$ . Demuestre que $B, C, X,$ e $Y$ son concíclicos. ike.chen