2 El semicírculo con centro $O$ y diámetro $AC$ está dividido en dos arcos $AB$ y $BC$ con razón $1:3$. $M$ es el punto medio del radio $OC$. Sea $T$ el punto del arco $BC$ tal que el área del cuadrilátero $OBTM$ es máxima. Encuentra dicha área en función del radio.

3 Sea $n$ un número natural y $f(n) = 2n - 1995 \lfloor \frac{n}{1000} \rfloor$ ( $\lfloor$ $\rfloor$ denota la función piso). 1. Demuestra que si para algún entero $r$: $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces), entonces $n$ es múltiplo de $1995$. 2. Demuestra que si $n$ es múltiplo de 1995, entonces existe $r$ tal que: $f(f(f...f(n)...))=1995$ (donde la función $f$ se aplica $r$ veces). Determina $r$ si $n=1995.500=997500$.

Un conjunto de puntos en el plano se llama antiparalelogramo si no hay cuatro puntos del conjunto que sean vértices de un paralelogramo. Sea $S$ un conjunto de $2023$ puntos en el plano, sin tres colineales. Demuestra que existe un subconjunto de $17$ puntos de $S$ que es antiparalelogramo.

5 Un entero positivo $\text{N}$ se llama rioplatense si satisface las siguientes condiciones: 1. Es posible encontrar $34$ enteros consecutivos cuyo producto sea divisible por $\text{N}$, pero ninguno de ellos individualmente sea divisible por $\text{N}$. 2. Es imposible encontrar $30$ enteros consecutivos cuyo producto sea divisible por $\text{N}$, pero ninguno de ellos individualmente sea divisible por $\text{N}$. Determina todos los números rioplatenses.

6 Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que $$f(x+f(y+1))+f(xy)=f(x+1)(f(y)+1)$$ para cualesquiera $x,y$ enteros.

1 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ . Demuestra que $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrado, y sean $E$ y $F$ puntos en $AB$ y $BC$ respectivamente tales que $BE=BF$. En el triángulo $EBC$, sea $N$ el pie de la altura relativa a $EC$. Sea $G$ la intersección entre $AD$ y la prolongación de la altura mencionada. $FG$ y $EC$ se cortan en el punto $P$, y las rectas $NF$ y $DC$ se cortan en el punto $T$. Demuestra que la recta $DP$ es perpendicular a la recta $BT$.

3 Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tales que para todo \(x,y\in \mathbb{R}\), \[xf(y+x)+(y+x)f(y)=f(x^2+y^2)+2f(xy)\] Propuesto por Aritra Mondal

Una división de un grupo de personas en varios grupos se llama $k$-regular si el número de grupos es menor o igual a $k$ y dos personas que se conocen están en grupos distintos. Sean $A$, $B$ y $C$ grupos de personas tales que no hay ninguna persona en $A$ y ninguna persona en $B$ que se conozcan entre sí. Supón que el grupo $A \cup C$ tiene una división $a$-regular y el grupo $B \cup C$ tiene una división $b$-regular. Para cada $a$ y $b$, determina el menor valor posible de $k$ para el cual se garantiza que el grupo $A \cup B \cup C$ tiene una división $k$-regular.

4 Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente en un polígono convexo de $n \geq 5$ lados. En cada turno, el jugador correspondiente debe trazar una diagonal que no corte por dentro las diagonales previamente trazadas. Un jugador pierde si después de su turno se forma un cuadrilátero tal que sus dos diagonales no están trazadas. $A$ comienza el juego. Para cada entero positivo $n$, encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.