1 Sean $A_1 = \{1\}$ , $A_{n+1} = \{3k, 3k+1 : k \in A_n\}$ para todo $n \ge 1$ y $A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$ . ¿Puede escribirse $2017$ como la suma de $2$ elementos de $A$ ? ¿Es única esta representación?

2 Demuestre que no existen números reales distintos $x, y, u, v$ que satisfagan simultáneamente $x^2 + y^2 = u^2 + v^2$ y $x^3 + y^3 = u^3 + v^3$ .

3 Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función continua. Demuestre que $\int_{0}^{1} f(x)x^2 dx = \frac{1}{3}f(c)$ para algún $c \in [0, 1]$ .

4 Suponga que $f(x)$ es un polinomio con coeficientes reales y $f(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Sea $g = f + f' + f'' + \dots$ . Demuestre que $g(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ .

5 Sea $S$ el conjunto de todos los puntos $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ para los cuales las curvas $y = x^2 + 2bx + 1$ y $y = 2a(x + b)$ no se intersecan. Determine el área de $S$ .

1 Se eligen al azar dos números reales $x$ y $y$ en $(0, 1)$ . Muestre que la probabilidad de que $2$ sea el entero más cercano a $\frac{y}{x}$ es $\frac{2}{15}$ . Si $P_1$ es la probabilidad de que el entero más cercano a $\frac{y}{x}$ sea impar y si $P_2$ es la probabilidad de que el entero más cercano a $\frac{y}{x}$ sea par, entonces muestre que $P_1 > P_2$ .

2 Si $\alpha$ es una raíz del polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ con coeficientes reales, $a_n \neq 0$ , entonces demuestre que $|\alpha| \le 1 + \max_{0 \le k \le n-1} \left| \frac{a_k}{a_n} \right|$ . Sea $a_0 + 10a_1 + \dots + 10^n a_n$ la representación decimal de un número primo tal que $a_n \ge 2$ , $n > 1$ . Demuestre que el polinomio $p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n$ no puede escribirse como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

4 Sean $A,B$ matrices no singulares de $n \times n (n \ge 2)$ con entradas reales. (a) Si $A^{-1} + B^{-1} = (A+B)^{-1}$ , demuestre que $\operatorname{det}(A) = \operatorname{det}(B)$ . (b) Halle ejemplos de matrices $A,B$ que satisfagan $A^{-1}+B^{-1} = (A+B)^{-1}$ . (c) Halle ejemplos de matrices $A,B$ con entradas complejas tales que $$A^{-1} + B^{-1} = (A+B)^{-1}, \quad \text{but } \operatorname{det}(A) \neq \operatorname{det}(B).$$

. Se da una sucesión de números $d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{n}$ tal que $|d_i|\leqslant1$ para todo $i=1, 2, \ldots, n$ . Demuestre que es posible elegir números $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}$ de $\{+1,-1\}$ tales que, para todo $i=1, 2, \ldots, n$ , $|s_{1}d_{1}+s_{2}d_{2}+\ldots+s_{i}d_{i}|\leqslant1$ . P2. Sea $M$ el punto de intersección de las medianas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AMB$ , $BMC$ y $CMA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. Un conjunto $A$ consta de enteros. Su elemento más pequeño es $1$ , y su elemento más grande es $100$ . Todo elemento de $A$ , excepto $1$ , es igual a la suma de dos elementos (no necesariamente distintos) de $A$ . Entre todos los conjuntos $A$ que satisfacen estas condiciones, determine aquel con el número mínimo posible de elementos. P4. Demuestre que el número $(1+\sqrt{2})^{2018}$ puede escribirse en la forma $a+b\sqrt2$ , donde $a$ y $b$ son enteros coprimos. P5. El área de cualquier triángulo cuyos vértices están sobre los lados de un polígono convexo dado es menor que $1$ . Demuestre que este polígono está contenido dentro de algún triángulo de área $4$ . P6. Del conjunto $\{0,1,2,3,4,5\}$ , se eligen $32$ subconjuntos tales que cualesquiera tres de ellos tengan un elemento común. Demuestre que todos estos subconjuntos tienen un elemento común.

. Demuestre que para todo número real positivo $x$ se cumple la desigualdad $2^{\sqrt[12]{x}}+2^{\sqrt[4]{x}}\ge 2\cdot 2^{\sqrt[6]{x}}$ . P2. Sea $O$ el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que si los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $AOB$ , $BOC$ y $COA$ son iguales, entonces el triángulo $ABC$ es equilátero. P3. En un país con $N$ ciudades, entre dos ciudades cualesquiera hay una conexión directa, ya sea por avión o por barco. Demuestre que usando solo un tipo de transporte es posible viajar de cualquier ciudad a cualquier otra (posiblemente con transbordos). P4. Los números naturales $a, b, c,$ y $d$ satisfacen la igualdad $ab=cd$ . Demuestre que el número $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ es compuesto. P5. ¿Es posible elegir nueve números distintos $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$ del conjunto $\{1,\, 2,\, \ldots,\, 9,\, 10\}$ tales que los nueve números $|a_{1}-a_{2}|, |a_{2}-a_{3}|, \ldots, |a_{8}-a_{9}|, |a_{9}-a_{1}|$ sean todos distintos? P6. En el triángulo $ABC$ , se trazan la altura $AH$ y la bisectriz $BE$ . Demuestre que si $\angle BEA=45^{\circ}$ , entonces también $\angle EHC=45^{\circ}$ .