4 Dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$, de igual radio, se intersecan en puntos distintos $X_1$ y $X_2$. Considera un círculo $\omega$ tangente externamente a $\omega_1$ en $T_1$ e internamente a $\omega_2$ en el punto $T_2$. Demuestra que las rectas $X_1T_1$ y $X_2T_2$ se intersecan en un punto que yace sobre $\omega$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersectan en $X$. Sean $C_1$, $D_1$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $CX$, $DX$ y $CD$, respectivamente. Las rectas $AD_1$ y $BC_1$ se intersectan en $Y$, y la recta $MY$ intersecta a las diagonales $AC$ y $BD$ en puntos distintos $E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que la recta $XY$ es tangente al círculo que pasa por $E$, $F$ y $X$.

1 Supón que $O$ es un punto dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tal que \[ OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2 = 2\mathcal A[ABCD] , \] donde con $\mathcal A[ABCD]$ hemos denotado el área de $ABCD$. Demuestra que $ABCD$ es un cuadrado y que $O$ es su centro. Yugoslavia Valentin

6 Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos $n$ tales que $n^4$ tiene un divisor en el rango $n^2 +1, n^2 + 2,...,n^2 + 2n$. Demuestra que hay infinitos elementos de $S$ de cada una de las formas $7m, 7m+1, 7m+2, 7m+5, 7m+6$ y ningún elemento de $S$ de la forma $7m+3$ y $7m+4$, donde $m$ es un entero.

2 Sea $S = \{A_1,A_2,\ldots ,A_k\}$ una colección de subconjuntos de un conjunto $A$ de $n$ elementos. Si para cualesquiera dos elementos $x, y \in A$ existe un subconjunto $A_i \in S$ que contiene exactamente uno de los dos elementos $x$, $y$, demuestra que $2^k\geq n$. Yugoslavia Valentin

3 Los círculos $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ se tocan externamente en $D$, y tocan internamente a un círculo $\omega$ en $B$ y $C$, respectivamente. Sea $A$ un punto de intersección de $\omega$ con la tangente común a $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ en $D$. Las rectas $AB$ y $AC$ cortan de nuevo a $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ en $K$ y $L$, respectivamente, y la recta $BC$ corta de nuevo a $\mathcal C_1$ en $M$ y a $\mathcal C_2$ en $N$. Demuestra que las rectas $AD$, $KM$, $LN$ son concurrentes. Grecia Valentin

4 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb R \to \mathbb R \) tales que \[ f( xf(x) + f(y) ) = f^2(x) + y \] para todo \( x,y\in \mathbb R \).

A3 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \) tales que \( f(x+f(x)+f(y))=2f(x)+y \) para todos los reales positivos \( x,y \). Propuesto por Athanasios Kontogeorgis, Grecia.

A1 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x^2 + y^2) = g(xy)$$ se cumple para todos $x, y \in \mathbb{R}^{+}$ .

A2 Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(x^2 + y) \ge (\frac{1}{x} + 1)f(y)$$ se cumple para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y todo $y \in \mathbb{R}$ .