4 Un conjunto de tres enteros no negativos $\{x,y,z\}$ con $x < y < z$ se llama histórico si $\{z-y,y-x\} = \{1776,2001\}$. Demuestra que el conjunto de todos los enteros no negativos se puede escribir como la unión de conjuntos históricos disjuntos por pares.

5 Encuentra todas las secuencias finitas $(x_0, x_1, \ldots,x_n)$ tales que para cada $j$ , $0 \leq j \leq n$ , $x_j$ es igual al número de veces que $j$ aparece en la secuencia.

Para un entero positivo \( n \), define una secuencia de ceros y unos como balanceada si contiene \( n \) ceros y \( n \) unos. Dos secuencias balanceadas \( a \) y \( b \) son vecinas si puedes mover uno de los \( 2n \) símbolos de \( a \) a otra posición para formar \( b \). Por ejemplo, cuando \( n = 4 \), las secuencias balanceadas \( 01101001 \) y \( 00110101 \) son vecinas porque el tercer (o cuarto) cero en la primera secuencia puede moverse a la primera o segunda posición para formar la segunda secuencia. Demuestra que existe un conjunto \( S \) de a lo más \( \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \) secuencias balanceadas tal que toda secuencia balanceada es igual o es vecina de al menos una secuencia en \( S \).

7 Una pila de $n$ piedritas se coloca en una columna vertical. Esta configuración se modifica según las siguientes reglas. Una piedrita se puede mover si está en la parte superior de una columna que contiene al menos dos piedritas más que la columna inmediatamente a su derecha. (Si no hay piedritas a la derecha, piensa en esto como una columna con 0 piedritas). En cada etapa, elige una piedrita entre aquellas que se pueden mover (si las hay) y colócala en la parte superior de la columna a su derecha. Si no se puede mover ninguna piedrita, la configuración se llama configuración final. Para cada $n$, muestra que, sin importar qué elecciones se hagan en cada etapa, la configuración final obtenida es única. Describe esa configuración en términos de $n$. IMO ShortList 2001, problema 7 de combinatoria, alternativa

Ocho. Veintiuna niñas y veintiún niños participaron en una competencia matemática. Resultó que cada concursante resolvió a lo sumo seis problemas, y para cada par formado por una niña y un niño, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la niña como por el niño. Demuestra que hay un problema que fue resuelto por al menos tres niñas y al menos tres niños.

2 Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P. Erdős, $1944$) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$, $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestra que existe una infinidad de números superabundantes. Amir

3 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $\mathcal{E}$ el conjunto de todos los puntos contenidos en los tres segmentos $AB$, $BC$ y $CA$ (incluyendo $A$, $B$ y $C$). Determina si, para toda partición de $\mathcal{E}$ en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de los dos subconjuntos contiene los vértices de un triángulo rectángulo.

3 Demuestre que para cualquier número primo impar $ p,$ el número de enteros positivos $ n$ que satisfacen $ p|n! + 1$ es menor o igual que $ cp^\frac{2}{3}.$ donde $ c$ es una constante independiente de $ p.$ Fang-jh

6 Supón que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos tales que $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$. Muestra que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Prueba que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que, en caso contrario, hay exactamente dos $r$ de este tipo.

4 Sean $ a,b$ números reales positivos que satisfacen $ b - a > 2.$ Demuestre que para cualesquiera dos enteros distintos $ m,n$ pertenecientes a $ [a,b),$ siempre existe un conjunto no vacío $ S$ formado por ciertos enteros pertenecientes a $ [ab,(a + 1)(b + 1))$ tal que $ \frac {\displaystyle\prod_{x\in S}}{mn}$ es el cuadrado de un número racional. Fang-jh