3 Decimos que un número entero $n \ge 1$ es conservador si el divisor primo más pequeño de $(n!)^n+1$ es a lo sumo $n+2015$. Decide si el número de números conservadores es infinito o no.

4 Tienes un tablero de $9 \times 9$ con casillas blancas. Una ficha puede moverse de una casilla a otra vecina (casillas que comparten un lado). Si pintamos algunas casillas de negro, decimos que tal coloración es buena si hay una casilla blanca donde podemos colocar una ficha que, moviéndose por casillas blancas, pueda regresar a la casilla inicial habiendo pasado por al menos $3$ casillas, sin pasar dos veces por la misma casilla. Encuentra el mayor valor posible de $k$ tal que cualquier forma de pintar $k$ casillas de negro sea una coloración buena.

Para un entero positivo $n$, denotamos $d(n)$ como el máximo común divisor de los coeficientes binomiales $\dbinom{n+1}{n} , \dbinom{n+2}{n} ,..., \dbinom{2n}{n}$ . Encuentra todos los valores posibles de $d(n)$.

6 Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo de incentro \(I\), circuncentro \(O\) e inradio \(r\). Sea \(\omega\) la circunferencia inscrita del triángulo \(ABC\). \(A_1\) es el punto de \(\omega\) tal que \(AIA_1O\) es un trapecio convexo de bases \(AO\) e \(IA_1\). Sea \(\omega_1\) la circunferencia de radio \(r\) que pasa por \(A_1\), es tangente a la recta \(AB\) y es distinta de \(\omega\). Sea \(\omega_2\) la circunferencia de radio \(r\) que pasa por \(A_1\), es tangente a la recta \(AC\) y es distinta de \(\omega\). Las circunferencias \(\omega_1\) y \(\omega_2\) se cortan en los puntos \(A_1\) y \(A_2\). De manera similar se definen los puntos \(B_2\) y \(C_2\). Demuestra que las rectas \(AA_2\), \(BB_2\) y \(CC_2\) son concurrentes.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno. Sean $D, E$ puntos en los segmentos $AB, AC$ respectivamente, tales que $BD=CE$. Demuestra que los centros de los nueve puntos de $ADE$, $ACD$, $ABC$, $AEB$ forman un rombo. Propuesto por Malay Mahajan y Siddharth Choppara.

6 Para $m = 1, 2, 3, ...$ denota $S(m)$ la suma de los dígitos de $m$, y sea $f(m)=m+S(m)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$, existe un número que aparece exactamente $n$ veces en la sucesión $f(1),f(2),...,f(m),...$

1 Dos triángulos isósceles con lados $x,x,a$ y $x,x,b$ ( $a \neq b$ ) tienen áreas iguales. Encuentra $x$ .

2 Encuentra la suma \[1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ dígitos}}.\]

3 Un número $p$ es $perfecto$ si la suma de sus divisores, excepto $p$, es $p$. Sea $f$ una función tal que: $f(n)=0$, si $n$ es perfecto $f(n)=0$, si el último dígito de $n$ es 4 $f(a.b)=f(a)+f(b)$ Encuentra $f(1998)$

1 Sea $n$ un cuadrado con 4 dígitos, tal que todos sus dígitos son menores que 6. Si sumamos 1 a cada dígito, el número resultante es otro cuadrado. Encuentra $n$.