82 Sea $ A$ un conjunto de enteros positivos tal que ningún entero positivo mayor que 1 divide a todos los elementos de $ A.$ Demuestre que cualquier entero positivo suficientemente grande puede escribirse como suma de elementos de $ A.$ (Los elementos pueden aparecer varias veces en la suma.)

84 Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determine el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ and } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

88 Demuestre que la sucesión $ (a_n)_{n \geq 0,}, a_n = [n \cdot \sqrt{2}],$ contiene una cantidad infinita de cuadrados perfectos.

85 Considérese un $ (2n +1)-$ g on regular inscrito en un círculo de radio $ r.$ Consideramos todos los triángulos cuyos vértices provienen de los vértices del $ (2n + 1)-$ g on regular. (a) ¿Cuántos de esos triángulos contienen el centro del círculo en su interior? (b) Halle la suma de las áreas de todos aquellos triángulos que contienen el centro del círculo en su interior.

2 Un reloj analógico de 12 horas preciso tiene una manecilla horaria, una minutera y una segundera que están alineadas a las 12:00 en punto y dan una revolución en 12 horas, 1 hora y 1 minuto, respectivamente. Es bien sabido, y no difícil de demostrar, que no hay ningún momento en que las tres manecillas estén igualmente espaciadas alrededor del reloj, con cada ángulo de separación $ \frac{2 \cdot \pi}{3}.$ Sean $ f(t), g(t), h(t)$ las respectivas desviaciones absolutas de los ángulos de separación respecto de \frac{2 \cdot \pi}{3} a las $ t$ horas después de las 12:00 en punto. ¿Cuál es el valor mínimo de $ max\{f(t), g(t), h(t)\}?$

1 Si en un cuadrilátero convexo $ ABCD, E$ y $ F$ son los puntos medios de los lados $ BC$ y $ DA$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $ EDA$ y $ FBC$ es igual al área del cuadrilátero.

94 Sean dados $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestre que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]

93 Demuestre que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

92 Demuestre que $ a < b$ implica que $ a^3 - 3a \leq b^3 - 3b + 4.$ ¿Cuándo se da la igualdad?

95 Sea $ n$ un entero positivo, $ X = \{1, 2, \ldots , n\},$ y $ k$ un entero positivo tal que $ \frac{n}{2} \leq k \leq n.$ Determine, con demostración, el número de todas las funciones $ f : X \mapsto X$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $ f^2 = f;$ (ii) el número de elementos de la imagen de $ f$ es $ k;$ (iii) para cada $ y$ en la imagen de $ f,$ el número de todos los puntos $ x \in X$ tales que $ f(x)=y$ es a lo sumo $ 2.$