$ n$$ n$$ |E(G)|\leq|V(G)|$

6 Sea $k\geq 1$ un entero. En un grupo de $2k+1$ personas, algunas son sinceras (siempre dicen la verdad) y el resto son impredecibles (a veces dicen la verdad y a veces mienten). Se sabe que los impredecibles son a lo sumo $k$ . Alguien externo al grupo debe determinar quién es sincero y quién es impredecible mediante una secuencia de pasos. En cada paso elige dos personas $A$ y $B$ del grupo y le pregunta a $A$ si $B$ es sincero. Demuestre que después de $3k$ pasos el extraño podrá clasificar con certeza a las $2k+1$ personas del grupo. (Antes de hacer cada pregunta, se conocen las respuestas a las preguntas anteriores.) Aclaración: Cada una de las $2k+1$ personas del grupo sabe quiénes son sinceros y quiénes son impredecibles.

1 Para cada entero positivo $n$ consideramos la sucesión de $2004$ enteros $$\left [n+\sqrt{n}\right ],\left [n+1+\sqrt{n+1}\right ],\left [n+2+\sqrt{n+2}\right ],\ldots ,\left [n+2003+\sqrt{n+2003}\right ]$$ Determine el menor entero $n$ tal que los $2004$ números de la sucesión sean $2004$ enteros consecutivos. Aclaración: Los corchetes indican la parte entera.

2 Determine todos los enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $$\begin{cases} a<b \\ a^2c =b^2d \\ ab+cd =2^{99}+2^{101} \end{cases}$$

3 Se colocan ceros y unos en cada casilla de un tablero rectangular. Se dice que tal tablero es variado si cada fila contiene al menos un $0$ y al menos dos $1$ s . Dado n $\geq 3,$ halle todos los enteros $k>1$ con la siguiente propiedad: Las columnas de cada tablero variado de $k$ filas y n columnas pueden permutarse de modo que en cada fila del nuevo tablero los $1$ s no formen un bloque (es decir, hay al menos dos $1$ s separados por uno o más $0$ s ).

4 Determine todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que cada casilla del tablero de $a\times b$ puede colorearse de rojo, azul o verde de modo que cada casilla roja tenga exactamente un vecino azul y un vecino verde, cada casilla azul tenga exactamente un vecino rojo y uno verde, y cada casilla verde tenga exactamente un vecino rojo y uno azul. Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.

5 El pentágono $ABCDE$ tiene $AB = BC, CD = DE, \angle ABC = 120^o, \angle CDE = 60^o$ y $BD = 2$ . Calcule el área del pentágono.

6 Decida si es posible generar una sucesión infinita de enteros positivos $a_n$ tal que en la sucesión no haya tres términos en progresión aritmética y que para todo $n$ $\left |a_n-n^2\right | &lt;\frac{n}{2}$ . Aclaración: Tres números $a$ , $b$ , $c$ están en progresión aritmética si y solo si $2b=a+c$ .

1 Halle todos los números positivos $x$ tales que: $$\frac{1}{[x]}-\frac{1}{[2x]}=\frac{1}{6\{x\}}$$ donde $[x]$ representa la parte entera de $x$ y $\{x\}=x-[x]$ .

10 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ un octágono cíclico. Sea $B_i$ la intersección de $A_iA_{i+1}$ y $A_{i+3}A_{i+4}$ . (Tome $A_9 = A_1$ , $A_{10} = A_2$ , etc.) Demuestre que $B_1, B_2, \ldots , B_8$ están sobre una cónica. David Yang.