4 Halle la suma de todos los productos $a_1a_2...a_{50}$ , donde $a_1,a_2,...,a_{50}$ son enteros positivos distintos, menores o iguales que $101$ , y tales que no haya dos de ellos que sumen $101$ .

3 Los enteros positivos $a,b,c$ son menores que $99$ y satisfacen $a^2+b^2=c^2+99^2$ . Halle el valor mínimo y máximo de $a+b+c$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^o$ y $AC = 1$ . La mediana $AM$ intersecta a la circunferencia inscrita en los puntos $P$ y $Q$ , con $P$ entre $A$ y $Q$ , tales que $AP = QM$ . Halle la longitud de $PQ$ .

4 Los enteros $1, 2, \dots, n$ se colocan de tal manera que cada valor es mayor que todos los valores precedentes o menor que todos los valores precedentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Por ejemplo, en el caso de $n = 5$ , $3 \ 2 \ 4 \ 1 \ 5$ es válido y $3 \ 2 \ 5 \ 1 \ 4$ no es válido.)

1 Dados varios enteros, la operación permitida consiste en reemplazar dos de ellos por su diferencia no negativa. La operación se repite hasta que solo queda un número. Si los números iniciales son $1, 2, … , 2010$ , ¿cuál puede ser el último número que quede?

6 Tenemos un cuadrado de lado $1$ y un número $\ell$ tal que $0 <\ell <\sqrt2$ . Dos jugadores $A$ y $B$ , por turnos, dibujan en el cuadrado un segmento abierto (sin sus dos extremos) de longitud $\ell $ ; comienza A. Cada segmento posterior al primero no puede tener puntos en común con los segmentos ya dibujados. Pierde el jugador que no pueda realizar su jugada. Determine si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

5 Halle todos los enteros $n$ tales que $1<n<10^6$ y $n^3-1$ es divisible por $10^6 n-1$ .

3 Una bolsa contiene canicas azules y rojas*. Considere el siguiente juego: se sacan canicas de la bolsa, una por una, hasta que haya un número igual de canicas azules y rojas; una vez que el número de canicas azules iguala al número de canicas rojas, el juego termina. En una instancia de este juego, se observa que, al final, se sacaron $ 10$ canicas de la bolsa, y no hubo $ 3$ canicas consecutivas todas del mismo color. Demuestre que, en dicha instancia del juego, la quinta y la sexta canicas eran de diferente color. *El problema original involucraba "piedras".

4 Para cada número natural $n$ denotamos por $a_n$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y por $b_n$ el menor cuadrado perfecto mayor que $n$ . Por ejemplo $a_9=3^2$ , $b_9=4^2$ y $a_{20}=4^2$ , $b_{20}=5^2$ . Calcule: $$\frac{1}{a_1b_1}+\frac{1}{a_2b_2}+\frac{1}{a_3b_3}+\ldots +\frac{1}{a_{600}b_{600}}$$

3 Sea $f$ una función continua en $[0, 2]$ y dos veces derivable en $(0, 2)$ . Si $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ y $f(2) = 2$ , demuestre que existe $x_0$ tal que $f''(x_0) = 0$ .