Se da un entero positivo $n$ y números reales $x_1, x_2, \dots, x_{2n+1}$. Supón que $x_i+x_{i+1}\geq 0$ para $i=1, 2, \dots, 2n+1$. Demuestra que $$\sum_{i=1}^{2n+1}|x_i|\leq (2n+1)\sum_{i=1}^{2n+1}x_i.$$

4 Sean $a, b$ enteros positivos dados. Supón que $a^2+ab$ es producto de dos enteros consecutivos. Demuestra que si $b>1$, entonces $$b\geq 1+\sqrt{4a+1}$$ y encuentra todos los $a, b$ para los cuales se da la igualdad.

5 Encuentra todos los enteros positivos $k, n$ tales que $$3^k+n^3+6=\prod_{i=k}^{k+n-1}i.$$

1 Un número igual de niños y niñas se sientan en un círculo. Demuestre que el número de niños que tienen un niño a su derecha es igual al número de niñas que tienen una niña a su derecha. Benny Wang

2 Un tablero de ajedrez $8 \times 8{}$ se diseca a lo largo de sus líneas de la cuadrícula en $2$ piezas conexas. Determine, con demostración, la mayor suma posible de sus perímetros. Jason Lee

3 Llame $\textit{grizzy}$ a un conjunto finito no vacío si sus elementos tienen media geométrica racional. Sea $\mathcal{S}$ un conjunto grizzy tal que, para cualquier subconjunto $\mathcal{T}$ de $\mathcal{S}$ , exactamente uno de $\mathcal{T}$ y su complemento en $\mathcal{S}$ es grizzy. Halle todos los valores posibles para el número de elementos de $\mathcal{S}$ . Grisham Paimagam

4 Determine, con demostración, si existen números reales $a,b>1$ tales que la cantidad $\lfloor a^n\rfloor-\lfloor b^n\rfloor$ es una potencia perfecta de $2$ para infinitos enteros positivos $n$ . Grisham Paimagam

Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que para todos $n, m \in \mathbb{Z}_{>0}$ se tiene $n \mid P^n(m)$ , donde $P^n(m)$ denota la $n$ - ésima composición de $P$ consigo mismo evaluada en $m$ . Propuesto por Skomantas Urbonas

5 En $\triangle ABC{}$ con $AB=AC{}$ e incentro $I{}$ , sea $E{}$ el punto medio del lado $AC{}$ , y sea $F{}$ el pie de la altura desde $C{}$ al lado $AB{}$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle AEF{}$ y $\triangle BCI{}$ son tangentes. Alan Cheng

Sea $p$ un primo impar. Defina la sucesión $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ mediante \[a_n=\left\lfloor\frac{p^n}{np+1}\right\rfloor.\] Demuestre que el conjunto de primos que dividen al menos dos términos de la sucesión es infinito. Propuesto por Skomantas Urbonas