1 Demuestre que no existe una función $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tal que $f(f(x))=x+1$, para todo $x\in\mathbb{Z}$.

3 ¿De cuántas maneras podemos construir un cuadrado de dimensiones $4\times 4$ usando $4$ cuadrados blancos, $4$ verdes, $4$ rojos y 4 $blue$ de dimensiones $1\times 1$, de modo que en cada línea horizontal y en cada línea vertical los cuadrados tengan colores diferentes?

2 Sea $ACBD$ un cuadrado y sean $K,L,M,N$ puntos de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Si $O$ es el centro del cuadrado, demuestre que la expresión $$ \overrightarrow{OK}\cdot \overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OL}\cdot\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{OK}$$ es independiente de las posiciones de $K,L,M,N$, (es decir, es constante).

3 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen $y^2f(x)(f(x)-2x)\le (1-xy)(1+xy) $ para cualesquiera $x,y \in\mathbb{R}$.

4 Para todo número real $x$, denotamos con $[x]$ la parte entera de $x$ y con $\{x\}$ la parte fraccionaria de $x$, de modo que $x=[x]+\{x\}$. a) Halle al menos un número real $x$ tal que $\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1$. b) Halle todos los racionales $x$ tales que $\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1$.

1 Sean $a,b,c,d x,y,z, w$ números reales tales que $$\begin{matrix} ax -by-c z-dw =0\\ b x +a y -d z +cw=0\\ c x+ d y +a z -b w=0\\ dx-c y+bz+aw=0 \end{matrix}$$. Demuestre que $$a=b=c=d=0, \ \ or \ \ x=y=z=w=0$$

2 Una colección de cuentos escritos por Papadiamantis contiene $70$ cuentos: uno de $1$ página, uno de $2$ páginas, ..., uno de $70$ páginas, y no necesariamente en ese orden. Cada cuento comienza en una página nueva y la numeración de las páginas del libro comienza desde la primera página. ¿Cuál es el número máximo de cuentos que comienzan en una página con número impar?

3 Desde un punto $A$ que no está en la recta $\varepsilon$, trazamos la perpendicular $AB$ a $\varepsilon$ y otras tres rectas no perpendiculares $AC$, $AD$, $AE $ que se encuentran en el mismo semiplano definido por $AB$, tales que $(AD )>\frac{1}{2}((AC)+(AE))$. Demuestre que $(CD )>(DE).$. (Los puntos $B,C,D,,E$ se encuentran en la recta $\varepsilon$).

4 Resuelva $2|3-2x|-|x-2|=x$, $x\in\mathbb{R}$.

1 Considere dos funciones $f , \,g \,:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para algún $a>0$ se cumple $g(x)=f(x+a)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Si $f$ es par y $g$ es impar, demuestre que ambas funciones son periódicas.