2022.5 En el triángulo obtusángulo $[ABC]$ representado en la figura, $M$ es el punto medio del lado $[AC]$, y $MD$ y $EB$ son perpendiculares a $BC$. Si el área del triángulo $[ABC]$ es $24$, ¿cuál es el área del triángulo $[EDC]$? https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/9/59cb1442ef26e7ad65b69b47464f8d82ac0cac.png

N3 Un conjunto de enteros positivos se llama fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$ . ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?

1 Encuentre todas las ternas de primos $(p,q,r)$ que satisfacen $3p^{4}-5q^{4}-4r^{2}=26$ .

5 Demuestre que hay infinitos enteros positivos $c$ tales que las siguientes ecuaciones tienen ambas soluciones en enteros positivos: $(x^2 - c)(y^2 -c) = z^2 -c$ y $(x^2 + c)(y^2 - c) = z^2 - c$ .

3 Halle todas las ternas de números reales positivos $(a, b, c)$ para las cuales la expresión $M = \frac{(a + b)(b + c)(a + b + c)}{abc}$ alcanza su valor mínimo.

A1 Fija un entero positivo $d$. Yael y Ziad juegan el siguiente juego, que involucra un polinomio mónico de grado $2d$. Empezando Yael, por turnos eligen un número real estrictamente positivo como valor de uno de los coeficientes del polinomio. Una vez que un coeficiente recibe un valor, no puede elegirse de nuevo más adelante en el juego. Así, el juego dura $2d$ rondas, hasta que Ziad asigna el coeficiente final. Yael gana si $P(x) = 0$ para algún número real $x$. De lo contrario, gana Ziad. Decide quién tiene la estrategia ganadora.

2 Cinco cubos vacíos idénticos de capacidad de $2$ litros se encuentran en los vértices de un pentágono regular. Cenicienta y su malvada Madrastra pasan por una secuencia de rondas: al comienzo de cada ronda, la Madrastra toma un litro de agua del río cercano y lo distribuye arbitrariamente entre los cinco cubos. Luego Cenicienta elige un par de cubos vecinos, los vacía en el río y los vuelve a poner en su lugar. Entonces comienza la siguiente ronda. El objetivo de la Madrastra es hacer que uno de estos cubos se desborde. El objetivo de Cenicienta es impedirlo. ¿Puede la malvada Madrastra forzar el desbordamiento de un cubo? Propuesto por Gerhard Woeginger, Países Bajos

2 Considere cinco puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ y $ E$ tales que $ ABCD$ es un paralelogramo y $ BCED$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $ \ell$ una recta que pasa por $ A$ . Suponga que $ \ell$ corta al interior del segmento $ DC$ en $ F$ y corta a la recta $ BC$ en $ G$ . Suponga también que $ EF = EG = EC$ . Demuestre que $ \ell$ es la bisectriz del ángulo $ DAB$ . Autor: Charles Leytem, Luxemburgo Valentin

2 Sea $P$ un polígono convexo y simétrico respecto a algún punto $O$ . Demuestre que para algún paralelogramo $R$ que satisface $P\subset R$ se tiene \[\frac{|R|}{|P|}\leq \sqrt 2\] donde $|R|$ y $|P|$ denotan el área de los conjuntos $R$ y $P$ , respectivamente. Propuesto por Witold Szczechla, Polonia

3 Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestre que no existe una función $T$ del conjunto de los enteros en el conjunto de los enteros tal que el número de enteros $x$ con $T^n(x)=x$ sea igual a $P(n)$ para todo $n\geq 1$ , donde $T^n$ denota la aplicación $n$ - veces iterada de $T$ . Propuesto por Jozsef Pelikan, Hungría