Sean $C_{1}$, $C_{2}$ círculos que se intersecan en $X$, $Y$. Sean $A$, $D$ puntos en $C_{1}$ y $B$, $C$ en $C_2$ tales que $A$, $X$, $C$ son colineales y $D$, $X$, $B$ son colineales. La tangente al círculo $C_{1}$ en $D$ interseca a $BC$ y a la tangente a $C_{2}$ en $B$ en $P$, $R$ respectivamente. La tangente a $C_2$ en $C$ interseca a $AD$ y a la tangente a $C_1$ en $A$, en $Q$, $S$ respectivamente. Sea $W$ la intersección de $AD$ con la tangente a $C_{2}$ en $B$ y $Z$ la intersección de $BC$ con la tangente a $C_1$ en $A$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $YWZ$, $RSY$ y $PQY$ tienen dos puntos en común, o son tangentes en el mismo punto. Propuesto por Misiakos Panagiotis

1 Un saltamontes salta a lo largo de la recta numérica. Inicialmente está situado en cero. En el paso \(k\)-ésimo, la longitud de su salto es \(k\). a) Si la longitud del salto es par, entonces salta hacia la izquierda; de lo contrario, salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la izquierda, luego tres pasos a la derecha, luego cuatro pasos a la izquierda...). ¿Visitará cada entero al menos una vez? b) Si la longitud del salto es divisible por tres, entonces salta hacia la izquierda; de lo contrario, salta hacia la derecha (por ejemplo, primero salta un paso a la derecha, luego dos pasos a la derecha, luego tres pasos a la izquierda, luego cuatro pasos a la derecha...). ¿Visitará cada entero al menos una vez? Propuesto por Matko Ljulj

2 Dos círculos \(C_{1}\) y \(C_{2}\) se intersectan en los puntos \(A\) y \(B\). Sean \(P\), \(Q\) puntos en los círculos \(C_{1}\), \(C_{2}\) respectivamente, tales que \(|AP| = |AQ|\). El segmento \(PQ\) intersecta a los círculos \(C_{1}\) y \(C_{2}\) en los puntos \(M\), \(N\) respectivamente. Sea \(C\) el centro del arco \(BP\) de \(C_{1}\) que no contiene al punto \(A\), y sea \(D\) el centro del arco \(BQ\) de \(C_{2}\) que no contiene al punto \(A\). Sea \(E\) la intersección de \(CM\) y \(DN\). Demuestra que \(AE\) es perpendicular a \(CD\). Propuesto por Steve Dinh

3 Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ existen $n$ números racionales positivos y distintos cuya suma de sus cuadrados es igual a $n$. Propuesto por Daniyar Aubekerov

4 Llamaremos a un par de enteros positivos $(n, k)$ con $k > 1$ una $pareja$ $encantadora$ si existe una tabla $nxn$ formada por unos y ceros con las siguientes propiedades: • En cada fila hay exactamente $k$ unos. • Para cada dos filas hay exactamente una columna tal que en ambas intersecciones de esa columna con las filas mencionadas, está escrito el número uno. Resuelve los siguientes subproblemas: a) Sea $d \neq 1$ un divisor de $n$. Determina todos los restos que $d$ puede dar al dividirse por $6$. b) Demuestra que existen infinitas parejas encantadoras. Propuesto por Miroslav Marinov, Daniel Atanasov

1 Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que \[ a+b+c=\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}. \] Demuestra que \[ 2(a+b+c) \ge \sqrt[3]{7 a^2 b +1 } + \sqrt[3]{7 b^2 c +1 } + \sqrt[3]{7 c^2 a +1 } . \] Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ para las cuales se cumple la igualdad.

2 Sea $n$ un entero positivo. En un tablero de $4n \times 4n$ casillas, se colocan exactamente $4n$ fichas de modo que cada fila y cada columna contenga una ficha. En un paso, una ficha se mueve horizontal o verticalmente a una casilla vecina. Varias fichas pueden ocupar la misma casilla al mismo tiempo. Las fichas deben moverse para ocupar todas las casillas de una de las dos diagonales. Determina el menor número $k(n)$ tal que para cualquier situación inicial, podamos hacerlo en a lo más $k(n)$ pasos.

3 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$. Sea $N$ un punto dentro del triángulo tal que $2 \angle ANB = 180 ^\circ + \angle ACB$. Sea $D$ la intersección de la recta $BN$ y la recta paralela a $AN$ que pasa por $C$. Sea $P$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $CAN$ y $ABN$. Demuestra que las rectas $DP$ y $AN$ son perpendiculares.

1 Encuentra todas las funciones \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) tales que \[ f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 \] se cumple para todo \( x, y \in \mathbb{R} \).

2 Sean $ x, y, z, w $ números reales no nulos tales que $ x+y \ne 0$, $ z+w \ne 0 $ y $ xy+zw \ge 0 $. Demuestra que \[ \left( \frac{x+y}{z+w} + \frac{z+w}{x+y} \right) ^{-1} + \frac{1}{2} \ge \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) ^{-1} + \left( \frac{y}{w} + \frac{w}{y} \right) ^{-1}\]